공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 12개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
직류 전동기가 960 rpm에서 3 kW의 기계적 출력을 냅니다. 축 토크 T을(를) 구하시오.
k = 0.5 V·s/rad, Ra = 1.5 Ω인 직류 전동기가 1500 rpm에서 3 N·m의 부하를 구동해야 합니다. 필요한 전기자 전압 V을(를) 구하시오.
두 평행축이 144 mm 떨어져 있다. 두 축을 모듈 3 mm, 감속비 3 : 1인 한 쌍의 스퍼 기어로 연결해야 한다. 피니언의 잇수 N1은(는) 몇 개여야 하는가?
복합 기어열에서 입력축의 기어 A(잇수 20개)가 1440 rpm으로 돌며 기어 B(잇수 80개)를 구동한다. 기어 C(잇수 24개)는 B와 같은 축에 고정되어 출력축의 기어 D를 구동한다. 출력은 192 rpm으로 돌아야 한다. 기어 D의 잇수 ND은(는) 몇 개여야 하는가?
입력 범위 0~3.3 V인 12비트 ADC가 절사합니다: 출력 코드는 1 LSB = VFSR/2ᴺ일 때 ⌊Vin/LSB⌋입니다. 입력이 1.031 V일 때 십진수 출력 코드 D을(를) 구하시오.
10비트 ADC가 모든 표본을 57600 baud, 8N1 형식(시작 비트, 데이터 비트 8개, 정지 비트 1개)의 UART로 계속 전송합니다. 각 표본은 2바이트로 전송되고 링크는 항상 사용 중입니다. 에일리어싱 없이 표본화할 수 있는 최고 신호 주파수 fmax을(를) Hz 단위로 구하시오.
브리지의 네 변이 모두 330 Ω이고 Vs = 12 V입니다. 센서 R₂가 ΔR = 0.66 Ω만큼 증가합니다. 미소 변화 근사를 써서 출력 Vab을(를) mV 단위로 구하시오.
로드셀(스트레인 게이지의 풀 브리지)의 정격 출력은 정격 하중 200 kg에서 2 mV/V입니다. 여기 전압은 12 V입니다. 하중 50 kg에서의 출력 Vo을(를) 구하시오.
G(s) = K/(s(s + 2))인 단위 피드백 루프가 램프 입력 r(t) = 5t를 정상상태 오차 0.05로 추종해야 합니다. 이득 K을(를) 구하시오.
PI 제어기 C(s) = 5 + 0.5/s가 단위 피드백 루프에서 플랜트 G(s) = 2/((s + 4)(s + 10))을(를) 제어합니다. 램프 입력 r(t) = 2t에 대한 정상상태 오차 ess을(를) 구하시오.
어떤 시스템의 전달함수가 G(s) = 261/(s² + 11s + 87)이고 단위 계단 입력을 받는다. 극점은 s = σ ± jωd이다. 실수부 σ을(를) 구하시오.
영점이 없는 2차 시스템의 계단 응답이 오버슈트 25 %를 보이고 첫 번째 피크가 t = 0.5 s에서 나타난다. 고유 진동수 ωn을(를) 구하시오.
답: T = 29.84 N·m
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
답: V = 87.54 V
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
답: N1 = 24
Gear geometry: the module m sets the tooth size. A gear with N teeth has a pitch diameter d = m·N, two meshing gears have the same module, and their centre distance is a = (d₁ + d₂)/2 = m·(N₁ + N₂)/2. The pitch-line speed is v = π·d·n/60, and the tangential tooth force follows from the torque: Ft = 2T/d.
답: ND = 45
Gear trains: meshing gears have the same speed at the teeth, so n₁·N₁ = n₂·N₂: the gear with fewer teeth turns faster. Gears on one shaft turn at the same speed. Power is passed on (minus losses), so torque goes up when speed goes down: T₂ = T₁·(N₂/N₁)·η, and P = T·ω with ω = 2π·n/60.
답: D = 1279
ADC 분해능: N비트 변환기는 풀스케일 범위 VFSR을 0부터 2ᴺ − 1까지 2ᴺ개의 코드로 나눕니다. 한 스텝은 1 LSB = VFSR/2ᴺ로, 변환기가 나타낼 수 있는 가장 작은 변화입니다. 절사형 ADC는 코드 ⌊Vin/LSB⌋를 주고, 반올림형 ADC는 참값에서 ½ LSB 넘게 벗어나지 않으며 이것이 양자화 오차입니다. 비트가 하나 늘 때마다 LSB는 절반이 되고, 풀스케일 사인파에 대한 이상적인 신호 대 양자화 잡음비 SQNR = 6.02·N + 1.76 dB는 약 6 dB 높아집니다. 범위에서 분해능 r을 얻으려면 2ᴺ ≥ 범위/r을 만족하는 가장 작은 N을 고르세요.
이진수로는 010011111111입니다.
답: fmax = 1440 Hz
UART: 비동기 직렬 링크는 각 바이트를 프레임으로 보냅니다. 시작 비트 1개(low), 데이터 비트, 선택적 패리티 비트, 정지 비트 1~2개(high)입니다. 보율은 초당 비트 수이므로 한 비트는 Tb = 1/baud 동안 지속되고, n비트 프레임은 n/baud 동안 지속됩니다. 흔히 쓰는 8N1 형식은 바이트당 10비트입니다. 보율 발생기는 클록을 나눕니다: baud = fclk/(16·D)이며 D는 정수이므로 실제 보율은 목표값과 조금 다릅니다. 오차가 약 2 % 미만이면 보통 허용됩니다.
답: Vab = 6 mV
휘트스톤 브리지: 두 개의 분압기가 하나의 전원 Vs를 공유합니다. 왼쪽 분압기 R1–R2는 Va = Vs·R2/(R1 + R2)를, 오른쪽 분압기 R3–R4는 Vb = Vs·R4/(R3 + R4)를 주며, 출력은 Vab = Va − Vb입니다. 브리지는 R1/R2 = R3/R4, 즉 R1·R4 = R2·R3일 때 평형(Vab = 0, 계기에 전류가 흐르지 않음)입니다. 출력 단자에서 보면 브리지는 Rth = R1∥R2 + R3∥R4인 테브난 전원입니다.
정확한 값은 5.994 mV입니다. ΔR/R이 작을 때는 근사가 잘 맞습니다.
답: Vo = 6 mV
스트레인 게이지: 게이지는 변형률에 따라 저항이 변합니다: ΔR/R = GF·ε이며, 게이지율 GF는 금속 박막에서 약 2입니다. 모든 변이 R로 같은 브리지에서 능동 게이지 하나(1/4 브리지)는 Vo ≈ Vs·GF·ε/4를 줍니다. 서로 인접한 변에 반대 변형률을 받는 능동 게이지 둘(1/2 브리지)은 Vs·GF·ε/2를, 넷(풀 브리지)은 Vs·GF·ε를 줍니다. 응력은 훅의 법칙 σ = E·ε에서 구합니다. 로드셀은 감도를 mV/V로 표기합니다. 이는 여기 전압 1 V당 정격 하중에서의 출력입니다.
답: K = 200
정상상태 오차: 개루프 전달함수 G(s)인 단위 피드백 루프에서 오차는 E(s) = R(s)/(1 + G(s))이고, 최종값 정리에 의해 ess = lims→0 s·E(s)입니다. 시스템 형은 G(s)의 s = 0에 있는 극점의 개수입니다. 오차 상수는 Kp = lim G(s), Kv = lim s·G(s), Ka = lim s²·G(s)이며 모두 s → 0에서의 극한입니다. 크기 A의 계단 입력은 ess = A/(1 + Kp), 램프 입력 A·t는 A/Kv, 포물선 입력 A·t²/2은 A/Ka를 줍니다. 0형 루프는 계단 입력을 유한한 오차로 추종하고, 1형 루프는 계단 입력을 정확히 추종하며 램프 입력은 유한한 오차로 추종합니다.
이득이 크면 이 루프는 감쇠가 매우 작아집니다: ζ = 0.07071. 이런 상충 때문에 보상기를 사용합니다.
답: ess = 80
P, PI, PID 제어: 제어기 C(s) = Kp + Ki/s + Kd·s는 오차에 작용합니다. 비례 이득은 루프를 빠르게 하고 0형 플랜트의 오차를 줄이지만 완전히 없애지는 못합니다. 적분 항은 s = 0에 극점을 추가합니다. 시스템 형이 하나 올라가고 계단 입력을 오차 없이 추종합니다. 미분 항은 감쇠를 더합니다. 이득을 정하려면 폐루프 특성다항식을 쓰고 s² + 2ζωns + ωn²과 비교하세요. 그러면 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), tp = π/ωd이며 ωd = ωn√(1 − ζ²), ts ≈ 4/(ζωn)입니다.
s·C(s) = 5s + 0.5 → s → 0일 때 0.5.
PI 제어기는 계단 오차를 완전히 없앱니다. 램프 입력은 일정한 지연을 두고 추종합니다.
답: σ = −5.5
계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
분모가 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 일치해야 합니다.
답: ωn = 6.868 rad/s
계단 응답: 1차 시스템 G(s) = K/(τs + 1)은 크기 U의 계단에 y(t) = K·U·(1 − e−t/τ)로 응답합니다. 시정수 τ 후에 최종값 K·U의 63.2 %에, 4τ 후에 98 %에 도달합니다. 2차 시스템 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²)는 극점 s = −ζωₙ ± jωd를 가지며 ωd = ωₙ√(1 − ζ²)입니다. 0 < ζ < 1이면 계단 응답에 오버슈트가 생깁니다. 백분율 오버슈트 %OS = 100·e−ζπ/√(1−ζ²), 피크 시간 tp = π/ωd, 2 % 정착 시간 ts ≈ 4/(ζωₙ). 분모를 s² + 2ζωₙs + ωₙ²과 비교하여 ωₙ과 ζ를 읽어 내세요. 질량-스프링-댐퍼에서는 ωₙ = √(k/m), ζ = c/(2√(km))이고, 직렬 RLC 회로에서는 ωₙ = 1/√(LC), ζ = (R/2)·√(C/L)입니다.
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