물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 정지 상태에서 출발해 활주로를 따라 2.75 m/s²로 균일하게 가속한다. 1200 m 후의 속력 v을(를) 구하시오.

v₀ = 0a = 2.75 m/s²s = 1200 m

v = m/s

2.운동학어려움

돌을 우물에 가만히 떨어뜨린다. 돌을 놓고 2.3 s 후에 물소리가 들린다. 음속은 343 m/s이고, 공기 저항은 무시하며 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 우물의 깊이 d을(를) 구하시오.

t_total = 2.3 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 4 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 2 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 4 m/sd = 2 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 1.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 1.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 75°로 발사하자 70 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 75°R = 70 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 28 m/s, 수평 위 70°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 4 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 28 m/sθ = 70°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

놀이공원의 로터에서 탑승자는 반지름 3.7 m인 수직 원통의 벽에 기대어 선다. 충분히 빨리 돌면 바닥이 내려가고 마찰이 탑승자를 붙잡는다. 정지 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 최소 각속도 ω을(를) rad/s로 구하시오.

r = 3.7 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.원운동어려움

길이 1.4 m인 줄에 매단 질량 2 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 6 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 2 kgr = 1.4 mv = 6 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. 경사면을 따라 12 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 25°μ = 0.15d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.일과 에너지어려움

10 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.15) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 5 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 1 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgμ = 0.15d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

수평으로 7 m/s로 움직이던 12 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 1 kg 파편은 17 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 11 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 12 kgu = 7 m/sm₁ = 1 kgv′₁ = 17 m/sm₂ = 11 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.55 kg인 공이 15 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 19 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 40 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.55 kgv_in = 15 m/sv_out = 19 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

13.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 0.3 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.용수철과 진자어려움

한 물체가 주기 2.3 s, 진폭 12 cm로 단조화 운동을 한다. 최대 변위 12 cm에서 변위 9 cm까지 움직이는 데 필요한 최단 시간 t은(는) 얼마인가?

T = 2.3 sA = 12 cmx = 9 cm

t = s

15.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 열린 관의 3번째 배진동이(가) 1286 Hz가 되어야 한다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관의 길이 L을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 3f₃ = 1286 Hz

L = m

16.파동, 소리, 광학어려움

정지한 센서가 15 m/s로 멀어지는 자동차를 향해 30 kHz의 초음파를 보내고, 반향을 송신 신호와 섞는다. 맥놀이 진동수 f_b을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3용액

1.운동학

답: v = 81.24 m/s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

그 거리 후의 속력

v = √(2·a·s) = √(2·2.75·1200) = 81.24 m/s

답

v = 81.24 m/s

(292.5 km/h)

2.운동학

답: d = 24.37 m

시간의 두 부분

½·9.81·t₁² = 343·(2.3 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 788.9 = 0

낙하 시간

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·788.9))/(2·4.905) = 2.229 s

깊이

d = ½·9.81·2.229² = 24.37 m

답

d = 24.37 m

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.4077

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

a = v₀²/(2d) = 4²/(2·2) = 4 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 4/9.81 = 0.4077

답

μ = 0.4077

4.뉴턴 법칙

답: a = 4.415 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 1.472)/3 = 4.415 m/s²

답

a = 4.415 m/s²

5.포물선 운동

답: v₀ = 37.06 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·70/sin 150°) = 37.06 m/s

답

v₀ = 37.06 m/s

6.포물선 운동

답: x = 49.87 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 9.577 m/s, v_y = 26.31 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

4 = 26.31·t − 4.905·t²

t = (26.31 + √(26.31² − 2·9.81·4))/9.81 = 5.208 s

수평 거리

x = v_x·t = 9.577·5.208 = 49.87 m

답

x = 49.87 m

7.원운동

답: ω = 2.102 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

탑승자에 작용하는 힘

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

각속도

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.6·3.7)) = 2.102 rad/s

답

ω = 2.102 rad/s

8.원운동

답: T = 71.05 N

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·6²/1.4 = 19.62 + 51.43 = 71.05 N

답

T = 71.05 N

9.일과 에너지

답: v = 8.215 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.4226 − 0.15·0.9063)) = 8.215 m/s

답

v = 8.215 m/s

10.일과 에너지

답: v = 2.14 m/s

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 49.05·1 = 49.05 J

μ·m₁g·d = 0.15·98.1·1 = 14.71 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 34.34 → v = √(2·34.34/15) = 2.14 m/s

답

v = 2.14 m/s

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = 6.091 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 전 운동량

p = M·u = 12·7 = 84 kg·m/s

충돌 후 운동량

84 = 1·17 + 11·v′₂

v′₂ = (84 − 17)/11 = 6.091 m/s

답

v′₂ = 6.091 m/s

12.운동량과 충돌

답: F_avg = 467.5 N

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

운동량 변화

J = m·Δv = 0.55·(19 + 15) = 18.7 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 18.7/0.04 = 467.5 N

답

F_avg = 467.5 N

13.용수철과 진자

답: T = 1.099 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(0.3/9.81) = 1.099 s

답

T = 1.099 s

14.용수철과 진자

답: t = 0.2646 s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = 2π/T = 2π/2.3 = 2.732 rad/s

시간에 대해 풀기

0.75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.75) = 0.7227 rad

t = 0.7227/2.732 = 0.2646 s

답

t = 0.2646 s

15.파동, 소리, 광학

답: L = 0.4001 m

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

파장

λ = v/f = 343/1286 = 0.2667 m

길이

L = nλ/2 = 3·0.2667/2 = 0.4001 m

답

L = 0.4001 m

16.파동, 소리, 광학

답: f_b = 2514 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 30000·(343 − 15)/343 = 28688 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 + 15) = 27486 Hz

맥놀이 진동수

f_b = |f″ − f| = 2514 Hz

답

f_b = 2514 Hz

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