물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

80 km/h로 달리던 자동차가 6 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 80 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 20 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 6 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 6 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 6 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 4.6 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 6 m/sd = 4.6 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 5.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 5.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 5.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 38 m/s로 발사해 45 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 38 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

공을 높이 25 m인 절벽 위에서 수평에서 60° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 34 m/sθ = 60°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.원운동보통

도로 기술자는 자동차가 마찰에 의존하지 않고 반지름 370 m의 커브를 70 km/h로 돌기를 원한다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 경사각 θ을(를) 구하시오.

r = 370 mv = 70 km/hg = 9.81 m/s²

θ = °

8.원운동어려움

길이 1.5 m인 줄에 매단 질량 1.1 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 3.5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 1.1 kgr = 1.5 mv = 3.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

평평한 도로를 70 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.8이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 70 km/hμ = 0.8g = 9.81 m/s²

d = m

10.일과 에너지어려움

30° 경사면 아래에 있는 강성 800 N/m인 스프링을 1 kg 블록으로 20 cm 압축했다가 놓는다. 블록과 경사면 사이의 운동 마찰 계수는 0.25이다. 블록은 놓은 점에서 경사면을 따라 얼마나 멀리 d 올라간 뒤 멈추는가? (스프링이 미는 짧은 거리는 무시하고, 마찰과 중력은 전체 거리 d에 걸쳐 작용한다고 하시오.)

m = 1 kgk = 800 N/mx = 20 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

11.운동량과 충돌보통

20 m/s로 움직이는 1900 kg 자동차가 정지해 있는 1000 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1900 kgv₁ = 20 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

20 g 총알을 길이 0.8 m의 가벼운 줄에 매달린 3.5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 15°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 20 gM = 3.5 kgL = 0.8 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.용수철과 진자보통

주기가 2.4 s인 단진자의 길이는 얼마여야 하는가? g = 9.81 m/s²를 쓴다. L을(를) 구하시오.

T = 2.4 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.용수철과 진자어려움

k = 190 N/m인 늘어나지 않은 수직 스프링의 아래 끝에 1.7 kg 질량을 달고 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 스프링의 최대 늘어난 길이 x_max을(를) cm로 구하시오.

m = 1.7 kgk = 190 N/mg = 9.81 m/s²

x_max = cm

15.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 열린 관의 길이는 0.8 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 1L = 0.8 m

f₁ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

정지한 주차 센서가 15 m/s로 멀어지는 자동차를 향해 40 kHz의 초음파를 보낸다. 센서가 되받는 반향의 진동수 f″을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 40 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3용액

1.운동학

답: s = 41.15 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·6) = 41.15 m

답

s = 41.15 m

2.운동학

답: t = 2.721 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−20 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 20 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (6 + √(6² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.721 s

답

t = 2.721 s

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.3989

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

a = v₀²/(2d) = 6²/(2·4.6) = 3.913 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.913/9.81 = 0.3989

답

μ = 0.3989

4.뉴턴 법칙

답: a = 4.415 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 5.396)/11 = 4.415 m/s²

답

a = 4.415 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 8.901 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/38² = 0.3057

위상각

2θ = 17.8° → θ = 8.901°

답

θ = 8.901°

다른 해는 90° − θ = 81.1°입니다.

6.포물선 운동

답: t = 6.757 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 60° = 17 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 60° = 29.44 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 25 + 29.44·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (29.44 + √(867 + 490.5))/9.81 = 6.757 s

답

t = 6.757 s

7.원운동

답: θ = 5.947 °

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

단위

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

경사각

tan θ = v²/(r·g) = 19.44²/(370·9.81) = 0.1042

θ = 5.947°

답

θ = 5.947°

8.원운동

답: T = 19.77 N

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·3.5²/1.5 = 10.79 + 8.983 = 19.77 N

답

T = 19.77 N

9.일과 에너지

답: d = 24.09 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.8·9.81) = 24.09 m

답

d = 24.09 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

10.일과 에너지

답: d = 2.276 m

스프링 에너지

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·800·0.2² = 16 J

경사면을 따른 에너지 수지

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 16/(9.81·(0.5 + 0.25·0.866)) = 2.276 m

답

d = 2.276 m

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 131034 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1900·20/2900 = 13.1 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1900·20² = 380000 J

K_after = ½·2900·13.1² = 248966 J

잃은 에너지

ΔK = 380000 − 248966 = 131034 J

답

ΔK = 131034 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v = 128.7 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 0.8·(1 − cos 15°) = 0.02726 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.02726) = 0.7313 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 3.52·0.7313/0.02 = 128.7 m/s

답

v = 128.7 m/s

13.용수철과 진자

답: L = 1.431 m

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

길이 구하기

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.4/2π)² = 1.431 m

답

L = 1.431 m

14.용수철과 진자

답: x_max = 17.55 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

평형점과 진폭

x₀ = m·g/k = 1.7·9.81/190 = 0.08777 m = A

최저점

x_max = 2A = 0.1755 m = 17.55 cm

답

x_max = 17.55 cm

15.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 214.4 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·0.8/1 = 1.6 m

진동수

f = v/λ = 343/1.6 = 214.4 Hz

답

f₁ = 214.4 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: f″ = 36648 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 40000·(343 − 15)/343 = 38251 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 + 15) = 36648 Hz

답

f″ = 36648 Hz

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