물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 이륙하려면 300 km/h의 속력이 필요하고 쓸 수 있는 활주로 길이는 1900 m이다. 정지 상태에서 출발한다면 필요한 일정한 가속도 a은(는) 얼마인가?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 1900 m

a = m/s²

2.운동학어려움

공 A를 높이 30 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 20 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 언제 만나는가? t을(를) 구하시오.

H = 30 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 2.5 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 0.8 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 2.5 m/sd = 0.8 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

평평한 바닥 위의 두 블록이 가벼운 수평 줄로 연결되어 있다. 수평력 115 N이 앞쪽의 12 kg 블록을 끌고, 3 kg 블록은 뒤에서 끌려온다. 두 블록 모두 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 연결 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 12 kgF = 115 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 24 m/s로 발사해 25 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 24 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

공을 높이 55 m인 절벽 위에서 수평에서 25° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 20 m/sθ = 25°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 70 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 70 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

반지름 280 m인 커브가 18° 기울어져 있고, 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 위쪽 바깥으로 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 280 mθ = 18°μ_s = 0.15g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.일과 에너지보통

장난감 발사기에 강성 200 N/m인 수직 스프링이 있다. 0.2 kg 공을 올려놓고 스프링을 8 cm 압축한 다음 놓는다. 공기 저항과 스프링의 질량을 무시하고, 스프링이 압축되었을 때의 위치에서 잰 공의 상승 높이 h을(를) 구하시오.

m = 0.2 kgk = 200 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.일과 에너지어려움

질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 3.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.2)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 2000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgh = 5 mL = 3.5 mμ = 0.2k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

23 m/s로 움직이는 1700 kg 자동차가 정지해 있는 1000 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1700 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1000 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

8 g 총알을 길이 0.7 m의 가벼운 줄에 매달린 5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 25°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 8 gM = 5 kgL = 0.7 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.용수철과 진자보통

다른 행성의 우주 비행사가 길이 1.9 m인 단진자의 작은 진동 주기가 1.74 s임을 알아낸다. 그 행성의 중력 가속도 g을(를) 구하시오.

L = 1.9 mT = 1.74 s

g = m/s²

14.용수철과 진자어려움

k = 160 N/m인 늘어나지 않은 수직 스프링의 아래 끝에 0.6 kg 질량을 달고 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량의 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 0.6 kgk = 160 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 고정된 줄의 길이는 0.6 m이고 그 위로 파동이 200 m/s로 진행한다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 200 m/sn = 1L = 0.6 m

f₁ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

파장 656 nm의 빛이 1 mm당 200개의 선이 있는 격자에 수직으로 입사한다. 1차 극대의 각 θ₁을(를) 구하시오.

N = 200 mm⁻¹λ = 656 nmm = 1

θ₁ = °

3용액

1.운동학

답: a = 1.827 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

가속도

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·1900) = 1.827 m/s²

답

a = 1.827 m/s²

2.운동학

답: t = 1.5 s

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

30 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 30/20 = 1.5 s

답

t = 1.5 s

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.3982

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

a = v₀²/(2d) = 2.5²/(2·0.8) = 3.906 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.906/9.81 = 0.3982

답

μ = 0.3982

4.뉴턴 법칙

답: T = 23 N

전체 계

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (115 − 14.71)/15 = 6.686 m/s²

뒤쪽 블록만

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(6.686 + 0.981) = 23 N

답

T = 23 N

두 블록의 μ가 같으면 마찰이 빠집니다: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.포물선 운동

답: θ = 12.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/24² = 0.4258

위상각

2θ = 25.2° → θ = 12.6°

답

θ = 12.6°

다른 해는 90° − θ = 77.4°입니다.

6.포물선 운동

답: x = 78.29 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 25° = 18.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 25° = 8.452 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 55 + 8.452·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.452 + √(71.44 + 1079))/9.81 = 4.319 s

수평 거리

x = v_x·t = 18.13·4.319 = 78.29 m

답

x = 78.29 m

7.원운동

답: v_max = 20.3 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·70) = 20.3 m/s

답

v_max = 20.3 m/s (73.07 km/h)

8.원운동

답: v_max = 37.03 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

힘의 평형

마찰은 경사면 아래를 향합니다.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

속력

v = √(280·9.81·0.4517/0.9047) = 37.03 m/s

답

v_max = 37.03 m/s

(133.3 km/h)

9.일과 에너지

답: h = 0.3262 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

스프링 에너지

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·200·0.08² = 0.64 J

높이

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/1.962 = 0.3262 m

답

h = 0.3262 m

10.일과 에너지

답: x = 32.47 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 24.53·(5 − 0.2·3.5) = 105.5 J

최대 압축량

½kx² = 105.5 → x = √(2·105.5/2000) = 0.3247 m = 32.47 cm

답

x = 32.47 cm

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 166537 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·23/2700 = 14.48 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1700·23² = 449650 J

K_after = ½·2700·14.48² = 283113 J

잃은 에너지

ΔK = 449650 − 283113 = 166537 J

답

ΔK = 166537 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v = 710.1 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 25°) = 0.06558 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.06558) = 1.134 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 5.008·1.134/0.008 = 710.1 m/s

답

v = 710.1 m/s

13.용수철과 진자

답: g = 24.78 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g 구하기

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.9/1.74² = 24.78 m/s²

답

g = 24.78 m/s²

14.용수철과 진자

답: v_max = 0.6007 m/s

평형점과 진폭

x₀ = m·g/k = 0.6·9.81/160 = 0.03679 m = A

최대 속력

속력은 평형점에서 가장 큽니다.

ω = √(160/0.6) = 16.33 rad/s

v_max = A·ω = 0.03679·16.33 = 0.6007 m/s

답

v_max = 0.6007 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 166.7 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 2L/n = 2·0.6/1 = 1.2 m

진동수

f = v/λ = 200/1.2 = 166.7 Hz

답

f₁ = 166.7 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: θ₁ = 7.539 °

간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.

선 간격

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

격자 방정식

sin θ = mλ/d = 1·656 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.1312

θ = 7.539°

답

θ₁ = 7.539°

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