물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

36 km/h로 달리던 자동차가 7 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 36 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

공 A를 높이 35 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 16 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 언제 만나는가? t을(를) 구하시오.

H = 35 mv_0B = 16 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 8 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 8 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 4 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 14 m/s로 발사해 15 m 떨어진 곳에 떨어지게 해야 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가능한 두 발사각 중 작은 값 θ을(를) 구하시오.

v₀ = 14 m/sR = 15 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.포물선 운동어려움

공을 높이 5 m인 절벽 위에서 수평에서 20° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 90 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 90 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 0.8 m의 가벼운 줄에 매단 0.8 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 10 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.8 kgr = 0.8 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

장난감 발사기에 강성 800 N/m인 수직 스프링이 있다. 0.05 kg 공을 올려놓고 스프링을 10 cm 압축한 다음 놓는다. 공기 저항과 스프링의 질량을 무시하고, 스프링이 압축되었을 때의 위치에서 잰 공의 상승 높이 h을(를) 구하시오.

m = 0.05 kgk = 800 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.일과 에너지어려움

질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 2000 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgh = 4 mL = 4 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

3 m/s로 움직이는 질량 2 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 3.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′₁을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

1700 kg 자동차가 주차된 1800 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 13.5 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1800 kgd = 13.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

k = 50 N/m인 스프링에 매단 2.2 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 14 cm로 진동한다. 평형점에서 9 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 2.2 kgk = 50 N/mA = 14 cmx = 9 cm

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

한 물체가 주기 3.8 s, 진폭 10 cm로 단조화 운동을 한다. 최대 변위 10 cm에서 변위 7.5 cm까지 움직이는 데 필요한 최단 시간 t은(는) 얼마인가?

T = 3.8 sA = 10 cmx = 7.5 cm

t = s

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 5 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 20 cm에 서 있다. 상거리 d_i을(를) 구하시오. 부호 규약 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 쓴다(오목 렌즈는 f < 0, 허상은 d_i < 0).

d_o = 20 cmf = 5 cm

d_i = cm

16.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 60 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 12 cm, 렌즈 2는 f₂ = −20 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 30 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 12 cmf₂ = −20 cms = 60 cmd_o = 30 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: s = 7.143 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·7) = 7.143 m

답

s = 7.143 m

2.운동학

답: t = 2.188 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

35 − ½g·t² = 16·t − ½g·t² → t = 35/16 = 2.188 s

답

t = 2.188 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.055 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

답

a = 4.055 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 3.815 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 4.905)/9 = 3.815 m/s²

답

a = 3.815 m/s²

5.포물선 운동

답: θ = 24.33 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·15/14² = 0.7508

위상각

2θ = 48.66° → θ = 24.33°

답

θ = 24.33°

다른 해는 90° − θ = 65.67°입니다.

6.포물선 운동

답: x = 78.79 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 5 + 10.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 98.1))/9.81 = 2.62 s

수평 거리

x = v_x·t = 30.07·2.62 = 78.79 m

답

x = 78.79 m

7.원운동

답: v_max = 24.86 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·90) = 24.86 m/s

답

v_max = 24.86 m/s (89.5 km/h)

8.원운동

답: T_top = 60.76 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 10² − 4·9.81·0.8 = 68.61 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.8·68.61/0.8 − 0.8·9.81 = 60.76 N

답

T_top = 60.76 N

9.일과 에너지

답: h = 8.155 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

스프링 에너지

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·800·0.1² = 4 J

높이

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 4/0.4905 = 8.155 m

답

h = 8.155 m

10.일과 에너지

답: v = 8.404 m/s

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.1·4) = 88.29 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.6) = 8.404 m/s

답

v = 8.404 m/s

11.운동량과 충돌

답: v′₁ = −0.8182 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (2 − 3.5)/(2 + 3.5)·3 = −0.8182 m/s

v′₂ = 2·2/(2 + 3.5)·3 = 2.182 m/s

답

v′₁ = −0.8182 m/s

음의 부호는 첫 번째 글라이더가 튕겨 되돌아간다는 뜻입니다.

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 25.95 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·13.5) = 12.61 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·12.61/1700 = 25.95 m/s

답

v₁ = 25.95 m/s

(93.44 km/h)

13.용수철과 진자

답: v = 0.5112 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(50/2.2) = 4.767 rad/s

x에서의 속력

v = ω·√(A² − x²) = 4.767·√(0.14² − 0.09²) = 0.5112 m/s

답

v = 0.5112 m/s

14.용수철과 진자

답: t = 0.4371 s

각주파수

ω = 2π/T = 2π/3.8 = 1.653 rad/s

시간에 대해 풀기

0.75 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.75) = 0.7227 rad

t = 0.7227/1.653 = 0.4371 s

답

t = 0.4371 s

15.파동, 소리, 광학

답: d_i = 6.667 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/20

d_i = 6.667 cm

광선도

실상, 렌즈의 반대쪽

답

d_i = 6.667 cm

16.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = −13.33 cm

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/12 − 1/30 → d_i1 = 20 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 60 − 20 = 40 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/40 → d_i2 = −13.33 cm

답

d_i2 = −13.33 cm

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