물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제 강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

80 km/h로 달리던 운전자가 장애물을 본다. 반응 시간은 1.1 s이고, 그 후 자동차는 일정한 감속도 4.5 m/s²로 제동한다. 장애물을 본 순간부터의 총 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v₀ = 80 km/ht_r = 1.1 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.운동학어려움

공 A를 높이 40 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 19 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 언제 만나는가? t을(를) 구하시오.

H = 40 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 16 kg인 블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 16 kgθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 20° 경사로 위로 9 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 9 m/sθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 40 m/s, 수평 위 25°로 75 m 떨어진 벽을 향해 찬다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 벽을 몇 m 높이 y에서 지나는가?

v₀ = 40 m/sθ = 25°x = 75 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.포물선 운동어려움

25 m 절벽 꼭대기에서 공을 33 m/s, 수평 위 65°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 절벽 밑 지면으로부터의 최고 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 33 m/sθ = 65°h = 25 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.원운동보통

길이 1.3 m인 줄에 매단 작은 공이 수평 원운동을 하며, 줄은 연직과 일정한 각 20°를 이룬다(원뿔 진자). g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 한 바퀴 도는 시간 T을(를) 구하시오.

L = 1.3 mθ = 20°g = 9.81 m/s²

T = s

8.원운동어려움

반지름 260 m인 커브가 25° 기울어져 있고, 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 위쪽 바깥으로 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 260 mθ = 25°μ_s = 0.1g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.일과 에너지보통

평평한 도로를 110 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.6이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 110 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

10.일과 에너지어려움

15 kg 블록이 30° 경사면의 아래에서 정지 상태로 출발해, 경사면에 평행한 일정한 힘 130 N에 의해 위로 끌려 올라간다. 운동 마찰 계수는 0.25이다. 블록이 경사면을 따라 9 m 올라간 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 15 kgF = 130 Nθ = 30°μ = 0.25d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

8 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 1.5 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 14 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 8 gM = 1.5 kgh = 14 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.운동량과 충돌어려움

1700 kg 자동차가 주차된 1500 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 24.5 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1700 kgm₂ = 1500 kgd = 24.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

주기가 2.7 s인 단진자의 길이는 얼마여야 하는가? g = 9.81 m/s²를 쓴다. L을(를) 구하시오.

T = 2.7 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.용수철과 진자어려움

300 m/s로 움직이는 10 g 총알이 마찰 없는 면 위에 정지해 있는 4 kg 블록에 맞아 박힌다. 블록은 k = 600 N/m인 수평 스프링에 연결되어 있다. 이로 인한 진동의 진폭 A을(를) cm로 구하시오.

m = 10 gv = 300 m/sM = 4 kgk = 600 N/m

A = cm

15.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 1.5 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 1L = 1.5 m

f₁ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

파장 600 nm의 빛이 0.3 mm 떨어진 두 슬릿에 입사한다. 스크린은 3 m 떨어져 있다. 이웃한 밝은 무늬 사이의 간격 Δy을(를) 구하시오.

λ = 600 nmd = 0.3 mmL = 3 m

Δy = mm

3용액

1.운동학

답: d = 79.31 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

반응 거리

d₁ = v₀·t_r = 22.22·1.1 = 24.44 m

제동 거리

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4.5) = 54.87 m

합계

d = 24.44 + 54.87 = 79.31 m

답

d = 79.31 m

2.운동학

답: t = 2.105 s

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

40 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 40/19 = 2.105 s

답

t = 2.105 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.02 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 35° − 0.2·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.1638) = 4.02 m/s²

답

a = 4.02 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: d = 6.617 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 20° + 0.3·cos 20°) = 6.121 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 9²/(2·6.121) = 6.617 m

답

d = 6.617 m

5.포물선 운동

답: y = 13.98 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

벽까지의 시간

v_x = 40·cos 25° = 36.25 m/s

t = x/v_x = 75/36.25 = 2.069 s

그 시각의 높이

y = 16.9·2.069 − ½·9.81·2.069² = 13.98 m

답

y = 13.98 m

공은 벽에서 이미 내려가는 중입니다.

6.포물선 운동

답: H = 70.59 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

처음 수직 속력

v_y = 33·sin 65° = 29.91 m/s

절벽 위로 올라간 높이

Δh = v_y²/(2g) = 29.91²/(2·9.81) = 45.59 m

지면으로부터의 높이

H = 25 + 45.59 = 70.59 m

답

H = 70.59 m

7.원운동

답: T = 2.217 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

원의 반지름

r = L·sin θ = 1.3·sin 20° = 0.4446 m

속력

장력과 중력이 함께 안쪽 힘을 줍니다: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0.4446·9.81·tan 20°) = 1.26 m/s

주기

T = 2π·r/v = 2π·0.4446/1.26 = 2.217 s

답

T = 2.217 s

8.원운동

답: v_max = 38.92 m/s

힘의 평형

마찰은 경사면 아래를 향합니다.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

속력

v = √(260·9.81·0.5132/0.864) = 38.92 m/s

답

v_max = 38.92 m/s

(140.1 km/h)

9.일과 에너지

답: d = 79.31 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 110/3.6 = 30.56 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 30.56²/(2·0.6·9.81) = 79.31 m

답

d = 79.31 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

10.일과 에너지

답: v = 5.429 m/s

경사면 방향의 힘

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 73.57 N

μ·mg·cos θ = 31.86 N

일–에너지

½mv² = (130 − 105.4)·9 = 221.1 J

v = √(2·221.1/15) = 5.429 m/s

답

v = 5.429 m/s

11.운동량과 충돌

답: v = 312.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.14) = 1.657 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 1.5)·1.657/0.008 = 312.4 m/s

답

v = 312.4 m/s

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 31.97 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·24.5) = 16.98 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·16.98/1700 = 31.97 m/s

답

v₁ = 31.97 m/s

(115.1 km/h)

13.용수철과 진자

답: L = 1.811 m

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

길이 구하기

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.7/2π)² = 1.811 m

답

L = 1.811 m

14.용수철과 진자

답: A = 6.116 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

충돌 후의 속력

V = m·v/(m + M) = 0.01·300/4.01 = 0.7481 m/s

각주파수

ω = √(k/(m + M)) = √(600/4.01) = 12.23 rad/s

진폭

A = V/ω = 0.7481/12.23 = 0.06116 m = 6.116 cm

답

A = 6.116 cm

15.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 57.17 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 4L/n = 4·1.5/1 = 6 m

진동수

f = v/λ = 343/6 = 57.17 Hz

답

f₁ = 57.17 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: Δy = 6 mm

간섭과 회절: 거리 d만큼 떨어진 두 슬릿을 지난 빛은 경로차 d·sin θ를 가지고 스크린의 한 점에 도달합니다. 밝은 무늬는 d·sin θ = mλ(m = 0, ±1, ±2, …)인 곳에 나타납니다. 스크린까지의 거리 L ≫ d이면 m번째 밝은 무늬는 y = mλL/d에 있고 무늬 간격은 Δy = λL/d입니다. 1 mm당 N개의 선이 있는 격자는 d = 1/N이고 d·sin θ = mλ에서 날카로운 극대를 만듭니다. sin θ ≤ 1이므로 가장 높은 차수는 m ≤ d/λ를 만족하는 가장 큰 정수입니다. 폭 a의 단일 슬릿은 a·sin θ = mλ (m = ±1, ±2, …)에서 어두운 무늬를 만듭니다.

무늬 간격

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·3/(0.3 × 10⁻³) = 6 mm

답

Δy = 6 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/physics-1-mechanics