물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

108 km/h로 달리던 자동차가 5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 40 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 8 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 8 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

30 kg 상자를 수평과 35°를 이루는 경사로 위로 경사로에 평행한 힘으로 일정한 속력으로 민다. 운동 마찰 계수는 0.4이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 미는 힘 F을(를) 구하시오.

m = 30 kgθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.뉴턴 법칙어려움

평평한 바닥 위의 두 블록이 가벼운 수평 줄로 연결되어 있다. 수평력 150 N이 앞쪽의 10 kg 블록을 끌고, 3 kg 블록은 뒤에서 끌려온다. 두 블록 모두 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 연결 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 10 kgF = 150 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 38 m/s, 수평 위 30°로 38 m 떨어진 벽을 향해 찬다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 벽을 몇 m 높이 y에서 지나는가?

v₀ = 38 m/sθ = 30°x = 38 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 37 m/s, 수평 위 60°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 21 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 37 m/sθ = 60°h_roof = 21 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

길이 0.9 m인 줄에 매단 작은 공이 수평 원운동을 하며, 줄은 연직과 일정한 각 40°를 이룬다(원뿔 진자). g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공의 속력 v을(를) 구하시오.

L = 0.9 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

8.원운동어려움

길이 0.8 m의 가벼운 줄에 매단 1 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 10 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 1 kgr = 0.8 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

장난감 발사기에 강성 1500 N/m인 수직 스프링이 있다. 0.2 kg 공을 올려놓고 스프링을 5 cm 압축한 다음 놓는다. 공기 저항과 스프링의 질량을 무시하고, 스프링이 압축되었을 때의 위치에서 잰 공의 상승 높이 h을(를) 구하시오.

m = 0.2 kgk = 1500 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.일과 에너지어려움

질량 2 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 2.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 3.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.3)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 1500 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 2 kgh = 2.5 mL = 3.5 mμ = 0.3k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

수평으로 19 m/s로 움직이던 10 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 2 kg 파편은 48 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 8 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 10 kgu = 19 m/sm₁ = 2 kgv′₁ = 48 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

1800 kg 자동차가 주차된 2000 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 16 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1800 kgm₂ = 2000 kgd = 16 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 1.6 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.용수철과 진자어려움

k = 350 N/m인 용수철에 매단 0.4 kg 물체를 평형 위치에서 2 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 0.4 kgk = 350 N/mA = 2 cm

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

관측자가 1000 Hz의 정지한 음원을 향해 15 m/s로 움직인다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 60 cm인 오목 거울 앞 15 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 15 cmR = 60 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: s = 90 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

답

s = 90 m

2.운동학

답: t = 3.785 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−40 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 40 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (8 + √(8² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.785 s

답

t = 3.785 s

3.뉴턴 법칙

답: F = 265.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

경사면 방향의 힘

일정한 속력: 힘이 평형을 이룹니다.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

미는 힘

F = 168.8 + 96.43 = 265.2 N

답

F = 265.2 N

4.뉴턴 법칙

답: T = 34.62 N

전체 계

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (150 − 38.26)/13 = 8.595 m/s²

뒤쪽 블록만

T = m₁·(a + μ·g) = 3·(8.595 + 2.943) = 34.62 N

답

T = 34.62 N

두 블록의 μ가 같으면 마찰이 빠집니다: T = F·m₁/(m₁ + m₂).

5.포물선 운동

답: y = 15.4 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

벽까지의 시간

v_x = 38·cos 30° = 32.91 m/s

t = x/v_x = 38/32.91 = 1.155 s

그 시각의 높이

y = 19·1.155 − ½·9.81·1.155² = 15.4 m

답

y = 15.4 m

공은 벽에서 아직 올라가는 중입니다.

6.포물선 운동

답: x = 107.2 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 18.5 m/s, v_y = 32.04 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

21 = 32.04·t − 4.905·t²

t = (32.04 + √(32.04² − 2·9.81·21))/9.81 = 5.794 s

수평 거리

x = v_x·t = 18.5·5.794 = 107.2 m

답

x = 107.2 m

7.원운동

답: v = 2.182 m/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

원의 반지름

r = L·sin θ = 0.9·sin 40° = 0.5785 m

속력

장력과 중력이 함께 안쪽 힘을 줍니다: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0.5785·9.81·tan 40°) = 2.182 m/s

답

v = 2.182 m/s

8.원운동

답: T_top = 75.95 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 10² − 4·9.81·0.8 = 68.61 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 1·68.61/0.8 − 1·9.81 = 75.95 N

답

T_top = 75.95 N

9.일과 에너지

답: h = 0.9557 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

스프링 에너지

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·1500·0.05² = 1.875 J

높이

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 1.875/1.962 = 0.9557 m

답

h = 0.9557 m

10.일과 에너지

답: x = 19.48 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 19.62·(2.5 − 0.3·3.5) = 28.45 J

최대 압축량

½kx² = 28.45 → x = √(2·28.45/1500) = 0.1948 m = 19.48 cm

답

x = 19.48 cm

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = 11.75 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 전 운동량

p = M·u = 10·19 = 190 kg·m/s

충돌 후 운동량

190 = 2·48 + 8·v′₂

v′₂ = (190 − 96)/8 = 11.75 m/s

답

v′₂ = 11.75 m/s

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 31.29 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·16) = 14.82 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3800·14.82/1800 = 31.29 m/s

답

v₁ = 31.29 m/s

(112.7 km/h)

13.용수철과 진자

답: T = 2.537 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

답

T = 2.537 s

14.용수철과 진자

답: v_max = 0.5916 m/s

각주파수

ω = √(350/0.4) = 29.58 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.02·29.58 = 0.5916 m/s

답

v_max = 0.5916 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: f′ = 1044 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 1044 Hz

답

f′ = 1044 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: d_i = −30 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

초점 거리

f = R/2 = 30 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/15

d_i = −30 cm

광선도

거울 뒤의 허상

답

d_i = −30 cm

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