물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

90 km/h로 달리던 자동차가 6.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 90 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 5 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 7 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 7 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

10 kg 상자를 수평과 25°를 이루는 경사로 위로 경사로에 평행한 힘으로 일정한 속력으로 민다. 운동 마찰 계수는 0.25이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 미는 힘 F을(를) 구하시오.

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 30° 경사로 위로 11 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 11 m/sθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 75°로 발사하자 25 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 75°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 29 m/s, 수평 위 65°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 25 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 29 m/sθ = 65°h_roof = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 90 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.8이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 90 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1.2 m인 줄에 매단 질량 1.1 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 8 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 1.1 kgr = 1.2 mv = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

1200 kg 자동차가 5° 경사로를 일정한 72 km/h로 올라간다. 공기 저항과 구름 저항을 합하면 800 N이다. 바퀴가 내야 하는 동력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

m = 1200 kgθ = 5°F_r = 800 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

10.일과 에너지어려움

질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 3 m인 거친 수평 구간(μ = 0.3)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 4000 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0.3k = 4000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

20 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 1.5 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 7 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 20 gM = 1.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.운동량과 충돌어려움

10 g 총알을 길이 0.7 m의 가벼운 줄에 매달린 4.5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 10°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 10 gM = 4.5 kgL = 0.7 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.용수철과 진자보통

주기가 2.5 s인 단진자의 길이는 얼마여야 하는가? g = 9.81 m/s²를 쓴다. L을(를) 구하시오.

T = 2.5 sg = 9.81 m/s²

L = m

14.용수철과 진자어려움

k = 450 N/m인 용수철에 매단 2.8 kg 물체를 평형 위치에서 20 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 2.8 kgk = 450 N/mA = 20 cm

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 0.6 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 5번째 배진동의 진동수 f₅을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 5L = 0.6 m

f₅ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 25 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 20 cm, 렌즈 2는 f₂ = −10 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 15 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 20 cmf₂ = −10 cms = 25 cmd_o = 15 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: s = 48.08 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·6.5) = 48.08 m

답

s = 48.08 m

2.운동학

답: t = 1.95 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−5 = 7·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 7·t − 5 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (7 + √(7² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.95 s

답

t = 1.95 s

3.뉴턴 법칙

답: F = 63.69 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

경사면 방향의 힘

일정한 속력: 힘이 평형을 이룹니다.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

미는 힘

F = 41.46 + 22.23 = 63.69 N

답

F = 63.69 N

4.뉴턴 법칙

답: d = 8.117 m

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 30° + 0.3·cos 30°) = 7.454 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 11²/(2·7.454) = 8.117 m

답

d = 8.117 m

5.포물선 운동

답: v₀ = 22.15 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 150°) = 22.15 m/s

답

v₀ = 22.15 m/s

6.포물선 운동

답: x = 50.52 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 12.26 m/s, v_y = 26.28 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

25 = 26.28·t − 4.905·t²

t = (26.28 + √(26.28² − 2·9.81·25))/9.81 = 4.122 s

수평 거리

x = v_x·t = 12.26·4.122 = 50.52 m

답

x = 50.52 m

7.원운동

답: v_max = 26.58 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·90) = 26.58 m/s

답

v_max = 26.58 m/s (95.68 km/h)

8.원운동

답: T = 69.46 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 1.1·9.81 + 1.1·8²/1.2 = 10.79 + 58.67 = 69.46 N

답

T = 69.46 N

9.일과 에너지

답: P = 36.52 kW

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 동력은 힘 × 속력입니다: P = F·v.

구동력

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 5° = 1026 N

F = 1026 + 800 = 1826 N

전력

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1826·20 = 36520 W = 36.52 kW

답

P = 36.52 kW

10.일과 에너지

답: v = 7.799 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.3·3) = 76.03 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.1) = 7.799 m/s

답

v = 7.799 m/s

11.운동량과 충돌

답: v = 89.07 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.02 + 1.5)·1.172/0.02 = 89.07 m/s

답

v = 89.07 m/s

12.운동량과 충돌

답: v = 206 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 10°) = 0.01063 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.01063) = 0.4568 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 4.51·0.4568/0.01 = 206 m/s

답

v = 206 m/s

13.용수철과 진자

답: L = 1.553 m

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

길이 구하기

L = g·(T/2π)² = 9.81·(2.5/2π)² = 1.553 m

답

L = 1.553 m

14.용수철과 진자

답: v_max = 2.535 m/s

각주파수

ω = √(450/2.8) = 12.68 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.2·12.68 = 2.535 m/s

답

v_max = 2.535 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: f₅ = 714.6 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 4L/n = 4·0.6/5 = 0.48 m

진동수

f = v/λ = 343/0.48 = 714.6 Hz

답

f₅ = 714.6 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = −8.947 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/20 − 1/15 → d_i1 = −60 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 25 − (−60) = 85 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/(−10) − 1/85 → d_i2 = −8.947 cm

답

d_i2 = −8.947 cm

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