물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

45 km/h로 달리던 자동차가 7 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 45 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 10 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 16 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 16 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 20 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 20° 경사로 위로 8.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 8.5 m/sθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 70° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 14 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

x = m

6.포물선 운동어려움

공을 높이 50 m인 절벽 위에서 수평에서 20° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 13 m/sθ = 20°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 115 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 115 mμ_s = 0.6g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1.1 m인 줄에 매단 질량 1.3 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 1.3 kgr = 1.1 mv = 5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

질량 5 kg인 블록이 수평과 25°를 이루는 경사면을 2 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.3이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 2 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

질량 10 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 2 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.3)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 800 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 10 kgh = 2 mL = 1.5 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

5 m/s로 움직이는 2000 kg 자동차가 정지해 있는 600 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 2000 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 600 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

1300 kg 자동차가 주차된 1900 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 12.5 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.75이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1300 kgm₂ = 1900 kgd = 12.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 1.6 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 1.6 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.용수철과 진자어려움

500 m/s로 움직이는 20 g 총알이 마찰 없는 면 위에 정지해 있는 2.5 kg 블록에 맞아 박힌다. 블록은 k = 600 N/m인 수평 스프링에 연결되어 있다. 이로 인한 진동의 진폭 A을(를) cm로 구하시오.

m = 20 gv = 500 m/sM = 2.5 kgk = 600 N/m

A = cm

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 25 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 20 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 20 cmf = 25 cm

m =

16.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.62이고 클래딩은 n₂ = 1.52이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.62n₂ = 1.52n₀ = 1.00

θ_a = °

3용액

1.운동학

답: s = 11.16 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·7) = 11.16 m

답

s = 11.16 m

2.운동학

답: t = 3.799 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−10 = 16·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 16·t − 10 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (16 + √(16² + 2·9.81·10))/9.81 = 3.799 s

답

t = 3.799 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.055 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 30° − 0.1·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.0866) = 4.055 m/s²

답

a = 4.055 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: d = 6.949 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 20° + 0.2·cos 20°) = 5.199 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·5.199) = 6.949 m

답

d = 6.949 m

5.포물선 운동

답: x = 12.84 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 70° = 4.788 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 70° = 13.16 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·13.16/9.81 = 2.682 s

수평 거리

x = v_x·t = 4.788·2.682 = 12.84 m

답

x = 12.84 m

6.포물선 운동

답: x = 44.93 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 20° = 12.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 20° = 4.446 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 50 + 4.446·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (4.446 + √(19.77 + 981))/9.81 = 3.678 s

수평 거리

x = v_x·t = 12.22·3.678 = 44.93 m

답

x = 44.93 m

7.원운동

답: v_max = 26.02 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.6·9.81·115) = 26.02 m/s

답

v_max = 26.02 m/s (93.66 km/h)

8.원운동

답: T = 42.3 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 1.3·9.81 + 1.3·5²/1.1 = 12.75 + 29.55 = 42.3 N

답

T = 42.3 N

9.일과 에너지

답: W_f = 26.67 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.3·44.45 = 13.34 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 13.34·2 = 26.67 J

답

W_f = 26.67 J

10.일과 에너지

답: x = 61.66 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.3·1.5) = 152.1 J

최대 압축량

½kx² = 152.1 → x = √(2·152.1/800) = 0.6166 m = 61.66 cm

답

x = 61.66 cm

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 5769 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·5/2600 = 3.846 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·2000·5² = 25000 J

K_after = ½·2600·3.846² = 19231 J

잃은 에너지

ΔK = 25000 − 19231 = 5769 J

답

ΔK = 5769 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 33.38 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·12.5) = 13.56 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3200·13.56/1300 = 33.38 m/s

답

v₁ = 33.38 m/s

(120.2 km/h)

13.용수철과 진자

답: T = 2.537 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(1.6/9.81) = 2.537 s

답

T = 2.537 s

14.용수철과 진자

답: A = 25.72 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

충돌 후의 속력

V = m·v/(m + M) = 0.02·500/2.52 = 3.968 m/s

각주파수

ω = √(k/(m + M)) = √(600/2.52) = 15.43 rad/s

진폭

A = V/ω = 3.968/15.43 = 0.2572 m = 25.72 cm

답

A = 25.72 cm

15.파동, 소리, 광학

답: m = 5

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/20

d_i = −100 cm

배율

m = −d_i/d_o = −(−100)/20 = 5

답

m = 5

16.파동, 소리, 광학

답: θ_a = 34.08 °

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.52/1.62 = 0.9383 → θc = 69.76°

개구수

NA = √(1.62² − 1.52²) = 0.5604

수광각

θ_a = arcsin(0.5604) = 34.08°

답

θ_a = 34.08°

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