물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

45 km/h로 달리던 자동차가 5.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동하는 데 걸리는 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 45 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 5 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 17 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 지면으로부터의 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

v₀ = 17 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 2 kg인 블록이 수평과 45°를 이루는 마찰 없는 경사면을 미끄러져 내려간다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 2 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 25° 경사로 위로 7.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 7.5 m/sθ = 25°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 30° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 32 m/sθ = 30°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

공을 높이 5 m인 절벽 위에서 수평에서 20° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 32 m/sθ = 20°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.원운동보통

자동차가 반지름 45 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.5이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 45 mμ_s = 0.5g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1 m의 가벼운 줄에 매단 0.5 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 8 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgr = 1 mv_bottom = 8 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

평평한 도로를 90 km/h로 달리던 자동차가 급제동해 바퀴가 잠긴 채 미끄러져 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.5이다. 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v = 90 km/hμ = 0.5g = 9.81 m/s²

d = m

10.일과 에너지어려움

40° 경사면 아래에 있는 강성 2000 N/m인 스프링을 0.5 kg 블록으로 15 cm 압축했다가 놓는다. 블록과 경사면 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. 블록은 놓은 점에서 경사면을 따라 얼마나 멀리 d 올라간 뒤 멈추는가? (스프링이 미는 짧은 거리는 무시하고, 마찰과 중력은 전체 거리 d에 걸쳐 작용한다고 하시오.)

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

11.운동량과 충돌보통

12 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 4.5 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 3 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 12 gM = 4.5 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.6 kg인 공이 14 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 15 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 25 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.6 kgv_in = 14 m/sv_out = 15 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

13.용수철과 진자보통

k = 250 N/m인 스프링에 매단 1.2 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 7 cm로 진동한다. 평형점에서 5 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1.2 kgk = 250 N/mA = 7 cmx = 5 cm

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

한 물체가 주기 3.4 s, 진폭 7 cm로 단조화 운동을 한다. 최대 변위 7 cm에서 변위 1.75 cm까지 움직이는 데 필요한 최단 시간 t은(는) 얼마인가?

T = 3.4 sA = 7 cmx = 1.75 cm

t = s

15.파동, 소리, 광학보통

400 Hz의 음원이 정지한 관측자에게서 멀어지며 15 m/s로 움직인다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/s

f′ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

정지한 주차 센서가 20 m/s로 멀어지는 자동차를 향해 40 kHz의 초음파를 보낸다. 센서가 되받는 반향의 진동수 f″을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3용액

1.운동학

답: t = 2.273 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

제동 시간

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/5.5 = 2.273 s

답

t = 2.273 s

2.운동학

답: h_max = 19.73 m

지붕 위로 올라간 높이

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

지면으로부터의 높이

h_max = 5 + 14.73 = 19.73 m

답

h_max = 19.73 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 6.937 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

답

a = 6.937 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: d = 5.133 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 25° + 0.15·cos 25°) = 5.48 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 7.5²/(2·5.48) = 5.133 m

답

d = 5.133 m

5.포물선 운동

답: t = 3.262 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 30° = 27.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 30° = 16 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·16/9.81 = 3.262 s

답

t = 3.262 s

6.포물선 운동

답: t = 2.62 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 20° = 30.07 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 20° = 10.94 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 5 + 10.94·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.94 + √(119.8 + 98.1))/9.81 = 2.62 s

답

t = 2.62 s

7.원운동

답: v_max = 14.86 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.5·9.81·45) = 14.86 m/s

답

v_max = 14.86 m/s (53.48 km/h)

8.원운동

답: T_top = 7.475 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 8² − 4·9.81·1 = 24.76 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.5·24.76/1 − 0.5·9.81 = 7.475 N

답

T_top = 7.475 N

9.일과 에너지

답: d = 63.71 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

기본 단위의 속력

v = 90/3.6 = 25 m/s

에너지 수지

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 25²/(2·0.5·9.81) = 63.71 m

답

d = 63.71 m

속력이 두 배가 되면 정지 거리는 네 배가 됩니다.

10.일과 에너지

답: d = 6.376 m

스프링 에너지

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·2000·0.15² = 22.5 J

경사면을 따른 에너지 수지

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22.5/(4.905·(0.6428 + 0.1·0.766)) = 6.376 m

답

d = 6.376 m

11.운동량과 충돌

답: v = 288.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4.5)·0.7672/0.012 = 288.5 m/s

답

v = 288.5 m/s

12.운동량과 충돌

답: J = 17.4 N·s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

운동량 변화

J = m·Δv = 0.6·(15 + 14) = 17.4 N·s

답

J = 17.4 N·s

13.용수철과 진자

답: v = 0.7071 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(250/1.2) = 14.43 rad/s

x에서의 속력

v = ω·√(A² − x²) = 14.43·√(0.07² − 0.05²) = 0.7071 m/s

답

v = 0.7071 m/s

14.용수철과 진자

답: t = 0.7133 s

각주파수

ω = 2π/T = 2π/3.4 = 1.848 rad/s

시간에 대해 풀기

0.25 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0.25) = 1.318 rad

t = 1.318/1.848 = 0.7133 s

답

t = 0.7133 s

15.파동, 소리, 광학

답: f′ = 383.2 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 0)/(343 + 15)

f′ = 383.2 Hz

답

f′ = 383.2 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: f″ = 35592 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 40000·(343 − 20)/343 = 37668 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 + 20) = 35592 Hz

답

f″ = 35592 Hz

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