물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 이륙하려면 240 km/h의 속력이 필요하고 쓸 수 있는 활주로 길이는 1600 m이다. 정지 상태에서 출발한다면 필요한 일정한 가속도 a은(는) 얼마인가?

v₀ = 0v = 240 km/hs = 1600 m

a = m/s²

2.운동학어려움

지면에서 10 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 18 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 18 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 18 kg인 블록이 수평과 20°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 18 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 30° 경사로 위로 7.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 7.5 m/sθ = 30°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 50° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 12 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

x = m

6.포물선 운동어려움

공을 높이 55 m인 절벽 위에서 수평에서 15° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 23 m/sθ = 15°h = 55 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

놀이공원의 로터에서 탑승자는 반지름 3.2 m인 수직 원통의 벽에 기대어 선다. 충분히 빨리 돌면 바닥이 내려가고 마찰이 탑승자를 붙잡는다. 정지 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 최소 각속도 ω을(를) rad/s로 구하시오.

r = 3.2 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.원운동어려움

반지름 160 m인 커브가 25° 기울어져 있고, 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 자동차가 위쪽 바깥으로 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 160 mθ = 25°μ_s = 0.2g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

9.일과 에너지보통

장난감 발사기에 강성 400 N/m인 수직 스프링이 있다. 0.05 kg 공을 올려놓고 스프링을 3 cm 압축한 다음 놓는다. 공기 저항과 스프링의 질량을 무시하고, 스프링이 압축되었을 때의 위치에서 잰 공의 상승 높이 h을(를) 구하시오.

m = 0.05 kgk = 400 N/mx = 3 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.일과 에너지어려움

질량 0.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 1.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 500 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 4 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

25 m/s로 움직이는 2000 kg 자동차가 정지해 있는 1300 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/sm₂ = 1300 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

1500 kg 자동차가 주차된 2000 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 20 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.8이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1500 kgm₂ = 2000 kgd = 20 mμ = 0.8g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

k = 170 N/m인 스프링에 매단 1.4 kg 질량을 양의 방향으로 13 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.4 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 1.4 kgk = 170 N/mA = 13 cmt = 0.4 s

x = cm

14.용수철과 진자어려움

k = 110 N/m인 스프링에 매단 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 9 cm로 진동한다. 질량이 평형점에서 3 cm 떨어져 있을 때 스프링에 저장된 에너지 U을(를) 구하시오.

k = 110 N/mA = 9 cmx = 3 cm

U = J

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 10 cm인 얇은 발산 렌즈 앞 8 cm에 서 있다. 상거리 d_i을(를) 구하시오. 부호 규약 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 쓴다(오목 렌즈는 f < 0, 허상은 d_i < 0).

d_o = 8 cmf = −10 cm

d_i = cm

16.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 25 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 10 cm, 렌즈 2는 f₂ = 10 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 50 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 10 cmf₂ = 10 cms = 25 cmd_o = 50 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: a = 1.389 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v = 240/3.6 = 66.67 m/s

가속도

a = v²/(2s) = 66.67²/(2·1600) = 1.389 m/s²

답

a = 1.389 m/s²

2.운동학

답: t = 4.16 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−10 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 10 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (18 + √(18² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.16 s

답

t = 4.16 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 1.972 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

답

a = 1.972 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: d = 4.887 m

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 30° + 0.1·cos 30°) = 5.755 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 7.5²/(2·5.755) = 4.887 m

답

d = 4.887 m

5.포물선 운동

답: x = 14.46 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 50° = 7.713 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 50° = 9.193 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·9.193/9.81 = 1.874 s

수평 거리

x = v_x·t = 7.713·1.874 = 14.46 m

답

x = 14.46 m

6.포물선 운동

답: x = 89.09 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 15° = 22.22 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 15° = 5.953 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 55 + 5.953·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.953 + √(35.44 + 1079))/9.81 = 4.01 s

수평 거리

x = v_x·t = 22.22·4.01 = 89.09 m

답

x = 89.09 m

7.원운동

답: ω = 3.197 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

탑승자에 작용하는 힘

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

각속도

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.3·3.2)) = 3.197 rad/s

답

ω = 3.197 rad/s

8.원운동

답: v_max = 33.96 m/s

힘의 평형

마찰은 경사면 아래를 향합니다.

N·(sin θ + μ·cos θ) = m·v²/r

N·(cos θ − μ·sin θ) = m·g

속력

v = √(160·9.81·0.6039/0.8218) = 33.96 m/s

답

v_max = 33.96 m/s

(122.3 km/h)

9.일과 에너지

답: h = 0.367 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

스프링 에너지

x = 3 cm = 0.03 m

½kx² = ½·400·0.03² = 0.18 J

높이

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.18/0.4905 = 0.367 m

답

h = 0.367 m

10.일과 에너지

답: v = 4.646 m/s

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.1·4) = 5.396 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·1.1) = 4.646 m/s

답

v = 4.646 m/s

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 246212 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 2000·25/3300 = 15.15 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·2000·25² = 625000 J

K_after = ½·3300·15.15² = 378788 J

잃은 에너지

ΔK = 625000 − 378788 = 246212 J

답

ΔK = 246212 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 41.34 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.8·9.81·20) = 17.72 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·17.72/1500 = 41.34 m/s

답

v₁ = 41.34 m/s

(148.8 km/h)

13.용수철과 진자

답: x = −3.899 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(170/1.4) = 11.02 rad/s

ω·t = 11.02·0.4 = 4.408 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 13·cos(4.408) = −3.899 cm

답

x = −3.899 cm

14.용수철과 진자

답: U = 0.0495 J

전체 에너지

E = ½·k·A² = ½·110·0.09² = 0.4455 J

x에서의 스프링 에너지

U = ½·k·x² = ½·110·0.03² = 0.0495 J

답

U = 0.0495 J

15.파동, 소리, 광학

답: d_i = −4.444 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/8

d_i = −4.444 cm

광선도

허상, 물체와 같은 쪽

답

d_i = −4.444 cm

16.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = 50 cm

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/10 − 1/50 → d_i1 = 12.5 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 25 − 12.5 = 12.5 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/10 − 1/12.5 → d_i2 = 50 cm

답

d_i2 = 50 cm

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