물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

80 km/h로 달리던 자동차가 5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 80 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

공 A를 높이 30 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 15 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 지면에서 몇 m 높이 y에서 만나는가?

H = 30 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 20 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 마찰 없는 경사면을 미끄러져 내려간다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 20 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

30° 경사로 위의 6 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 4.5 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 블록과 경사로 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 6 kgm₂ = 4.5 kgθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 65° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 도달하는 최대 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 18 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.포물선 운동어려움

50 m 절벽 꼭대기에서 공을 27 m/s, 수평 위 40°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 50 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

자동차가 반지름 95 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 95 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 0.8 m인 줄에 매단 질량 2 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 4.5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 2 kgr = 0.8 mv = 4.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

질량 2 kg인 블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 7 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.15이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 2 kgθ = 35°μ = 0.15d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

8 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.4) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 6 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 2 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 8 kgm₂ = 6 kgμ = 0.4d = 2 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

수평으로 8 m/s로 움직이던 13 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 9 kg 파편은 66 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 4 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 13 kgu = 8 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 66 m/sm₂ = 4 kg

v′₂ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

10 g 총알을 길이 1.6 m의 가벼운 줄에 매달린 4 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 15°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 10 gM = 4 kgL = 1.6 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 1.3 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 1.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.용수철과 진자어려움

k = 20 N/m인 용수철에 매단 1.1 kg 물체를 평형 위치에서 16 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 1.1 kgk = 20 N/mA = 16 cm

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

기계 한 대가 어떤 점에서 80 dB의 음의 세기 수준을 낸다. 같은 기계 8대가 동시에 작동할 때 그 점에서의 수준 β을(를) 구하시오(비간섭성 음원).

β₁ = 80 dBn = 8

β = dB

16.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 60 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 8 cm, 렌즈 2는 f₂ = 5 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 40 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 8 cmf₂ = 5 cms = 60 cmd_o = 40 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: s = 49.38 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5) = 49.38 m

답

s = 49.38 m

2.운동학

답: y = 10.38 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

30 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 30/15 = 2 s

만나는 높이

y = 15·2 − ½·9.81·2² = 10.38 m

답

y = 10.38 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.905 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

답

a = 4.905 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 42.21 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

줄 방향의 힘

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 29.43 N

μ·m₁·g·cos θ = 10.19 N

계의 가속도

a = (44.15 − 29.43 − 10.19)/10.5 = 0.4305 m/s²

매달린 질량에서 구한 장력

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 0.4305) = 42.21 N

답

T = 42.21 N

5.포물선 운동

답: H = 13.56 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 65° = 7.607 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 65° = 16.31 m/s

최고점

최고점에서 연직 속도는 0입니다: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 16.31²/(2·9.81) = 13.56 m

답

H = 13.56 m

6.포물선 운동

답: α = 59.99 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 27·cos 40° = 20.68 m/s

v_y0 = 27·sin 40° = 17.36 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(17.36² + 2·9.81·50) = 35.81 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 35.81/20.68 → α = 59.99°

답

α = 59.99°

7.원운동

답: v_max = 16.72 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·95) = 16.72 m/s

답

v_max = 16.72 m/s (60.19 km/h)

8.원운동

답: T = 70.25 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 2·9.81 + 2·4.5²/0.8 = 19.62 + 50.63 = 70.25 N

답

T = 70.25 N

9.일과 에너지

답: W_f = 16.88 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 19.62·0.8192 = 16.07 N

F = μN = 0.15·16.07 = 2.411 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 2.411·7 = 16.88 J

답

W_f = 16.88 J

10.일과 에너지

답: v = 2.801 m/s

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 58.86·2 = 117.7 J

μ·m₁g·d = 0.4·78.48·2 = 62.78 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 54.94 → v = √(2·54.94/14) = 2.801 m/s

답

v = 2.801 m/s

11.운동량과 충돌

답: v′₂ = −122.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 전 운동량

p = M·u = 13·8 = 104 kg·m/s

충돌 후 운동량

104 = 9·66 + 4·v′₂

v′₂ = (104 − 594)/4 = −122.5 m/s

답

v′₂ = −122.5 m/s

음의 부호는 두 번째 파편이 뒤로 날아간다는 뜻입니다.

12.운동량과 충돌

답: v = 414.7 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 15°) = 0.05452 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.05452) = 1.034 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 4.01·1.034/0.01 = 414.7 m/s

답

v = 414.7 m/s

13.용수철과 진자

답: T = 2.287 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(1.3/9.81) = 2.287 s

답

T = 2.287 s

14.용수철과 진자

답: v_max = 0.6822 m/s

각주파수

ω = √(20/1.1) = 4.264 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.16·4.264 = 0.6822 m/s

답

v_max = 0.6822 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: β = 89.03 dB

파동: 주기적인 파동은 한 주기에 한 파장을 이동하므로 v = fλ이고 T = 1/f입니다. 팽팽한 줄에서는 v = √(T/μ)이며, T는 장력, μ = m/L은 1미터당 질량입니다. 공기 중의 소리는 20 °C에서 약 343 m/s로, 진공 중의 빛은 c = 3.00 × 10⁸ m/s로 진행합니다. 소리의 크기는 로그 눈금으로 측정합니다: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, I₀ = 10⁻¹² W/m²이므로 세기가 10배가 되면 10 dB가 늘어납니다. 점음원은 일률 P를 구면 위로 퍼뜨립니다: I = P/(4πr²).

전체 세기

I = 8·I₁

난이도

β = 80 + 10·log₁₀(8) = 89.03 dB

답

β = 89.03 dB

16.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = 5.556 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/8 − 1/40 → d_i1 = 10 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 60 − 10 = 50 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/5 − 1/50 → d_i2 = 5.556 cm

답

d_i2 = 5.556 cm

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