물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 이륙하려면 180 km/h의 속력이 필요하고 쓸 수 있는 활주로 길이는 2200 m이다. 정지 상태에서 출발한다면 필요한 일정한 가속도 a은(는) 얼마인가?

v₀ = 0v = 180 km/hs = 2200 m

a = m/s²

2.운동학어려움

트램이 정지 상태에서 출발해 6 s 동안 2.5 m/s²로 가속한 다음, 23 s 동안 등속으로 달리고, 마지막으로 2 m/s²로 제동해 멈춘다. 두 정류장 사이의 총거리 s을(를) 구하시오.

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 6 st₂ = 23 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.뉴턴 법칙보통

3 kg과 2.5 kg인 질량이 가볍고 마찰 없는 도르래 양쪽에 가벼운 줄로 연결되어 매달려 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 35° 경사로 위로 9.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 9.5 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 45°로 발사하자 120 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 45°R = 120 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

공을 높이 40 m인 절벽 위에서 수평에서 45° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 18 m/sθ = 45°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.원운동보통

길이 0.7 m인 줄에 매단 작은 공이 수평 원운동을 하며, 줄은 연직과 일정한 각 40°를 이룬다(원뿔 진자). g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 한 바퀴 도는 시간 T을(를) 구하시오.

L = 0.7 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = s

8.원운동어려움

길이 0.6 m의 가벼운 줄에 매단 0.3 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 10 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgr = 0.6 mv_bottom = 10 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

질량 5 kg인 블록이 수평과 40°를 이루는 경사면을 7 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.4이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.4d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

10.일과 에너지어려움

질량 0.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 1.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 2.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.25)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 1000 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.25k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

11.운동량과 충돌보통

15 m/s로 움직이는 800 kg 자동차가 정지해 있는 1500 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 원래 운동 에너지의 몇 퍼센트 ΔK/K을(를) 잃는가?

m₁ = 800 kgv₁ = 15 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

12.운동량과 충돌어려움

1800 kg 자동차가 주차된 1700 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 8 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1800 kgm₂ = 1700 kgd = 8 mμ = 0.7g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

k = 200 N/m인 스프링에 매단 3.8 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 20 cm로 진동한다. 평형점에서 4 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 3.8 kgk = 200 N/mA = 20 cmx = 4 cm

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

k = 500 N/m인 용수철에 매단 1.3 kg 물체를 평형 위치에서 17 cm 당겼다가 놓는다. 최대 가속도 a_max을(를) 구하시오.

m = 1.3 kgk = 500 N/mA = 17 cm

a_max = m/s²

15.파동, 소리, 광학보통

높이 5 cm인 물체가 초점 거리 5 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 18 cm에 서 있다. 상의 높이 h_i을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

h_o = 5 cmd_o = 18 cmf = 5 cm

h_i = cm

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 30 cm인 오목 거울 앞 25 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 25 cmR = 30 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: a = 0.5682 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v = 180/3.6 = 50 m/s

가속도

a = v²/(2s) = 50²/(2·2200) = 0.5682 m/s²

답

a = 0.5682 m/s²

2.운동학

답: s = 446.3 m

최고 속력

v = a₁·t₁ = 2.5·6 = 15 m/s

각 단계의 거리

s₁ = ½·2.5·6² = 45 m

s₂ = 15·23 = 345 m

s₃ = 15²/(2·2) = 56.25 m

총거리

s = 45 + 345 + 56.25 = 446.3 m

답

s = 446.3 m

3.뉴턴 법칙

답: T = 26.75 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

가속도

알짜 구동력은 무게의 차이이며, 전체 질량을 움직입니다.

a = (3 − 2.5)·9.81/(3 + 2.5) = 0.8918 m/s²

가벼운 질량에서 구한 장력

T − m₂·g = m₂·a → T = 2.5·(9.81 + 0.8918) = 26.75 N

답

T = 26.75 N

4.뉴턴 법칙

답: d = 6.238 m

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·7.234) = 6.238 m

답

d = 6.238 m

5.포물선 운동

답: v₀ = 34.31 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·120/sin 90°) = 34.31 m/s

답

v₀ = 34.31 m/s

6.포물선 운동

답: t = 4.434 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 40 + 12.73·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.73 + √(162 + 784.8))/9.81 = 4.434 s

답

t = 4.434 s

7.원운동

답: T = 1.469 s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

원의 반지름

r = L·sin θ = 0.7·sin 40° = 0.45 m

속력

장력과 중력이 함께 안쪽 힘을 줍니다: tan θ = v²/(r·g).

v = √(r·g·tan θ) = √(0.45·9.81·tan 40°) = 1.925 m/s

주기

T = 2π·r/v = 2π·0.45/1.925 = 1.469 s

답

T = 1.469 s

8.원운동

답: T_top = 35.29 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 10² − 4·9.81·0.6 = 76.46 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·76.46/0.6 − 0.3·9.81 = 35.29 N

답

T_top = 35.29 N

9.일과 에너지

답: W_f = 105.2 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.4·37.57 = 15.03 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 15.03·7 = 105.2 J

답

W_f = 105.2 J

10.일과 에너지

답: x = 9.265 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.25·2.5) = 4.292 J

최대 압축량

½kx² = 4.292 → x = √(2·4.292/1000) = 0.09265 m = 9.265 cm

답

x = 9.265 cm

11.운동량과 충돌

답: ΔK/K = 65.22 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 800·15/2300 = 5.217 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·800·15² = 90000 J

K_after = ½·2300·5.217² = 31304 J

잃은 비율

ΔK/K = 58696/90000 = 65.22 %

답

ΔK/K = 65.22 %

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 20.38 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.7·9.81·8) = 10.48 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 3500·10.48/1800 = 20.38 m/s

답

v₁ = 20.38 m/s

(73.37 km/h)

13.용수철과 진자

답: v = 1.422 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(200/3.8) = 7.255 rad/s

x에서의 속력

v = ω·√(A² − x²) = 7.255·√(0.2² − 0.04²) = 1.422 m/s

답

v = 1.422 m/s

14.용수철과 진자

답: a_max = 65.38 m/s²

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(500/1.3) = 19.61 rad/s

최대 가속도

a_max = A·ω² = 0.17·19.61² = 65.38 m/s²

답

a_max = 65.38 m/s²

15.파동, 소리, 광학

답: h_i = −1.923 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/18

d_i = 6.923 cm

배율과 높이

m = −6.923/18 = −0.3846

h_i = −0.3846·5 = −1.923 cm

답

h_i = −1.923 cm

16.파동, 소리, 광학

답: d_i = 37.5 cm

초점 거리

f = R/2 = 15 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/25

d_i = 37.5 cm

광선도

거울 앞의 실상

답

d_i = 37.5 cm

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