물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

72 km/h로 달리던 자동차가 6 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 72 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 35 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 6 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 6 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

40 kg 썰매를 수평 위 35° 방향의 로프로 170 N의 힘으로 평평한 눈 위에서 끈다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 썰매의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 40 kgF = 170 Nθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 9 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 3.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 9 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 20° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 38 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

x = m

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 33 m/s, 수평 위 40°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 4 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 33 m/sθ = 40°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.원운동보통

자동차가 반지름 120 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 120 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

5 kg 수레가 마찰 없는 트랙 위 높이 15.95 m에서 정지 상태로 놓여 반지름 5.5 m의 연직 루프를 지난다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 루프 꼭대기에서 트랙이 수레에 작용하는 수직항력 N_top을(를) 구하시오.

m = 5 kgh = 15.95 mR = 5.5 mg = 9.81 m/s²

N_top = N

9.일과 에너지보통

10 kg 공이 길이 2 m인 가벼운 줄에 매달려 있다. 줄이 연직과 40°를 이룰 때까지 옆으로 당겼다가 가만히 놓는다. 공이 가장 낮은 점을 지날 때 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 10 kgL = 2 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

T = N

10.일과 에너지어려움

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 1 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 3 m인 거친 수평 구간(μ = 0.15)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 1000 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 1 mL = 3 mμ = 0.15k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

10 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 4.5 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 7 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 10 gM = 4.5 kgh = 7 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.운동량과 충돌어려움

1200 kg 자동차가 주차된 1200 kg 자동차를 들이받는다. 잔해는 한 덩어리가 되어 24.5 m 미끄러진 뒤 멈춘다. 타이어와 도로 사이의 운동 마찰 계수는 0.6이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 직전 첫 번째 자동차의 속력 v₁을(를) 구하시오.

m₁ = 1200 kgm₂ = 1200 kgd = 24.5 mμ = 0.6g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

13.용수철과 진자보통

단진자의 길이는 0.3 m이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 작게 흔들릴 때의 주기 T을(를) 구하시오.

L = 0.3 mg = 9.81 m/s²

T = s

14.용수철과 진자어려움

k = 150 N/m인 용수철에 매단 1.3 kg 물체를 평형 위치에서 2 cm 당겼다가 놓는다. 진동의 전체 에너지 E을(를) 구하시오.

m = 1.3 kgk = 150 N/mA = 2 cm

E = J

15.파동, 소리, 광학보통

양 끝이 고정된 줄의 기본 진동(1차 배진동)이(가) 27 Hz가 되어야 하고 그 위로 파동이 80 m/s로 진행한다. 길이 L을(를) 구하시오.

v = 80 m/sn = 1f₁ = 27 Hz

L = m

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 20 cm인 볼록 거울 앞 20 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 20 cmR = 20 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: s = 33.33 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6) = 33.33 m

답

s = 33.33 m

2.운동학

답: t = 3.352 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−35 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 35 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (6 + √(6² + 2·9.81·35))/9.81 = 3.352 s

답

t = 3.352 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.744 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

수직항력

N = m·g − F·sin θ = 392.4 − 170·sin 35° = 294.9 N

수평 방향의 힘

m·a = F·cos θ − μ·N = 139.3 − 29.49

a = 109.8/40 = 2.744 m/s²

답

a = 2.744 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 0.6278 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 26.49)/12.5 = 0.6278 m/s²

답

a = 0.6278 m/s²

5.포물선 운동

답: x = 94.62 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 38·cos 20° = 35.71 m/s

v_y = v₀·sin θ = 38·sin 20° = 13 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·13/9.81 = 2.65 s

수평 거리

x = v_x·t = 35.71·2.65 = 94.62 m

답

x = 94.62 m

6.포물선 운동

답: x = 104.3 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 25.28 m/s, v_y = 21.21 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

4 = 21.21·t − 4.905·t²

t = (21.21 + √(21.21² − 2·9.81·4))/9.81 = 4.127 s

수평 거리

x = v_x·t = 25.28·4.127 = 104.3 m

답

x = 104.3 m

7.원운동

답: v_max = 28.71 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·120) = 28.71 m/s

답

v_max = 28.71 m/s (103.3 km/h)

8.원운동

답: N_top = 39.24 N

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

에너지 보존에서 구한 속력

v² = 2·9.81·(15.95 − 2·5.5) = 97.12 m²/s²

힘

중심 방향을 양으로.

N = m·v²/R − m·g = 5·97.12/5.5 − 49.05 = 39.24 N

답

N_top = 39.24 N

9.일과 에너지

답: T = 144 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

바닥에서의 속력

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·2·(1 − cos 40°) = 9.18 m²/s²

바닥에서의 힘

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·9.18/2 = 144 N

답

T = 144 N

검산: T = mg(3 − 2cos θ) = 144 N.

10.일과 에너지

답: v = 3.285 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(1 − 0.15·3) = 5.396 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·0.55) = 3.285 m/s

답

v = 3.285 m/s

11.운동량과 충돌

답: v = 528.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.07) = 1.172 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 4.5)·1.172/0.01 = 528.5 m/s

답

v = 528.5 m/s

12.운동량과 충돌

답: v₁ = 33.97 m/s

충돌 후의 속력

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.6·9.81·24.5) = 16.98 m/s

충돌에서의 운동량

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2400·16.98/1200 = 33.97 m/s

답

v₁ = 33.97 m/s

(122.3 km/h)

13.용수철과 진자

답: T = 1.099 s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

단진자의 주기

T = 2π·√(0.3/9.81) = 1.099 s

답

T = 1.099 s

14.용수철과 진자

답: E = 0.03 J

각주파수

ω = √(150/1.3) = 10.74 rad/s

에너지

E = ½·k·A² = ½·150·0.02² = 0.03 J

답

E = 0.03 J

15.파동, 소리, 광학

답: L = 1.481 m

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

파장

λ = v/f = 80/27 = 2.963 m

길이

L = nλ/2 = 1·2.963/2 = 1.481 m

답

L = 1.481 m

16.파동, 소리, 광학

답: d_i = −6.667 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

초점 거리

f = −R/2 = −10 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−10) − 1/20

d_i = −6.667 cm

광선도

거울 뒤의 허상

답

d_i = −6.667 cm

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