물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

90 km/h로 달리던 자동차가 4 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 90 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

모형 로켓을 정지 상태에서 똑바로 위로 발사한다. 엔진은 2 s 동안 위쪽으로 일정한 가속도 24 m/s²를 주고, 그 후 엔진이 멈추면 로켓은 자유 운동을 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 로켓이 도달하는 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

a = 24 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

10 kg과 5 kg인 질량이 가볍고 마찰 없는 도르래 양쪽에 가벼운 줄로 연결되어 매달려 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량들의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 10 kgm₂ = 5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 15° 경사로 위로 6.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 6.5 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 25°로 발사하자 25 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 25°R = 25 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

30 m 절벽 꼭대기에서 공을 13 m/s, 수평 위 55°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 13 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

자동차가 반지름 45 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 45 mμ_s = 0.3g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1.3 m인 줄에 매단 질량 1 kg인 공을 연직면에서 원운동시킨다. 최저점에서 공의 속력은 8.5 m/s이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 최저점에서 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 1 kgr = 1.3 mv = 8.5 m/sg = 9.81 m/s²

T = N

9.일과 에너지보통

블록이 수평과 40°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. 경사면을 따라 11 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 40°μ = 0.3d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.일과 에너지어려움

질량 2.5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 4.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 2500 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 2.5 kgh = 4 mL = 4.5 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

7 m/s로 움직이는 질량 4.5 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 0.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′₁을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m₁ = 4.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.25 kg인 공이 9 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 11 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 5 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.25 kgv_in = 9 m/sv_out = 11 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

13.용수철과 진자보통

k = 250 N/m인 스프링에 매단 3 kg 질량을 양의 방향으로 3 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.35 s에서 평형점으로부터의 변위 x(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3 kgk = 250 N/mA = 3 cmt = 0.35 s

x = cm

14.용수철과 진자어려움

k = 240 N/m인 용수철에 매단 0.6 kg 물체를 평형 위치에서 12 cm 당겼다가 놓는다. 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 0.6 kgk = 240 N/mA = 12 cm

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

빛이 플린트 유리(n = 1.62) 속에서 글리세롤(n = 1.47)과의 평평한 경계를 향해 진행한다. 그 각을 넘으면 전반사되는 임계각 θ_c을(를) 구하시오.

n₁ = 1.62n₂ = 1.47

θ_c = °

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 40 cm인 볼록 거울 앞 12 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 12 cmR = 40 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: s = 78.13 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4) = 78.13 m

답

s = 78.13 m

2.운동학

답: h_max = 165.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

동력 비행 단계

v₁ = 24·2 = 48 m/s

h₁ = ½·24·2² = 48 m

위로의 자유 비행

최고점에서 속도는 0입니다.

Δh = v₁²/(2g) = 48²/(2·9.81) = 117.4 m

h_max = 48 + 117.4 = 165.4 m

답

h_max = 165.4 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 3.27 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

가속도

알짜 구동력은 무게의 차이이며, 전체 질량을 움직입니다.

a = (10 − 5)·9.81/(10 + 5) = 3.27 m/s²

답

a = 3.27 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: d = 3.925 m

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·5.382) = 3.925 m

답

d = 3.925 m

5.포물선 운동

답: v₀ = 17.89 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·25/sin 50°) = 17.89 m/s

답

v₀ = 17.89 m/s

6.포물선 운동

답: α = 74.28 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 13·cos 55° = 7.456 m/s

v_y0 = 13·sin 55° = 10.65 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(10.65² + 2·9.81·30) = 26.5 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 26.5/7.456 → α = 74.28°

답

α = 74.28°

7.원운동

답: v_max = 11.51 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.3·9.81·45) = 11.51 m/s

답

v_max = 11.51 m/s (41.43 km/h)

8.원운동

답: T = 65.39 N

최저점에서의 힘

중심 방향(위쪽)이 양입니다.

T − m·g = m·v²/r

T = 1·9.81 + 1·8.5²/1.3 = 9.81 + 55.58 = 65.39 N

답

T = 65.39 N

9.일과 에너지

답: v = 9.441 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 9.441 m/s

답

v = 9.441 m/s

10.일과 에너지

답: v = 8.346 m/s

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 24.53·(4 − 0.1·4.5) = 87.06 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.55) = 8.346 m/s

답

v = 8.346 m/s

11.운동량과 충돌

답: v′₁ = 5.6 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (4.5 − 0.5)/(4.5 + 0.5)·7 = 5.6 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 0.5)·7 = 12.6 m/s

답

v′₁ = 5.6 m/s

12.운동량과 충돌

답: F_avg = 1000 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.25·(11 + 9) = 5 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 5/0.005 = 1000 N

답

F_avg = 1000 N

13.용수철과 진자

답: x = −2.996 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(250/3) = 9.129 rad/s

ω·t = 9.129·0.35 = 3.195 rad

변위

x = A·cos(ω·t) = 3·cos(3.195) = −2.996 cm

답

x = −2.996 cm

14.용수철과 진자

답: v_max = 2.4 m/s

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(240/0.6) = 20 rad/s

최대 속력

v_max = A·ω = 0.12·20 = 2.4 m/s

답

v_max = 2.4 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: θ_c = 65.15 °

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

90°에서의 굴절

sin θc = n₂/n₁ = 1.47/1.62 = 0.9074

임계각

θc = arcsin(0.9074) = 65.15°

답

θ_c = 65.15°

16.파동, 소리, 광학

답: d_i = −7.5 cm

초점 거리

f = −R/2 = −20 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−20) − 1/12

d_i = −7.5 cm

광선도

거울 뒤의 허상

답

d_i = −7.5 cm

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