물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

60 km/h로 달리던 자동차가 7 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 5 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 19 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 19 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 13 kg인 블록이 수평과 40°를 이루는 마찰 없는 경사면을 미끄러져 내려간다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 13 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 3.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 2.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 35° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 도달하는 최대 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 22 m/sθ = 35°g = 9.81 m/s²

H = m

6.포물선 운동어려움

45 m 절벽 꼭대기에서 공을 10 m/s, 수평 위 50°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 10 m/sθ = 50°h = 45 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

놀이공원의 로터에서 탑승자는 반지름 2.2 m인 수직 원통의 벽에 기대어 선다. 충분히 빨리 돌면 바닥이 내려가고 마찰이 탑승자를 붙잡는다. 정지 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 최소 회전수 n을(를) 분당 회전수로 구하시오.

r = 2.2 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

n = rpm

8.원운동어려움

길이 1 m의 가벼운 줄에 매단 0.7 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 12 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.7 kgr = 1 mv_bottom = 12 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. 경사면을 따라 13 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 35°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.일과 에너지어려움

30° 경사면 아래에 있는 강성 2000 N/m인 스프링을 3 kg 블록으로 10 cm 압축했다가 놓는다. 블록과 경사면 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. 블록은 놓은 점에서 경사면을 따라 얼마나 멀리 d 올라간 뒤 멈추는가? (스프링이 미는 짧은 거리는 무시하고, 마찰과 중력은 전체 거리 d에 걸쳐 작용한다고 하시오.)

m = 3 kgk = 2000 N/mx = 10 cmθ = 30°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

11.운동량과 충돌보통

12 g 총알을 가벼운 줄에 매달린 2 kg 나무 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 블록은 처음보다 5 cm 높아질 때까지 흔들려 올라간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 12 gM = 2 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.35 kg인 공이 9 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 18 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 25 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.35 kgv_in = 9 m/sv_out = 18 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

13.용수철과 진자보통

다른 행성의 우주 비행사가 길이 1.2 m인 단진자의 작은 진동 주기가 3.57 s임을 알아낸다. 그 행성의 중력 가속도 g을(를) 구하시오.

L = 1.2 mT = 3.57 s

g = m/s²

14.용수철과 진자어려움

500 m/s로 움직이는 20 g 총알이 마찰 없는 면 위에 정지해 있는 4 kg 블록에 맞아 박힌다. 블록은 k = 1100 N/m인 수평 스프링에 연결되어 있다. 이로 인한 진동의 진폭 A을(를) cm로 구하시오.

m = 20 gv = 500 m/sM = 4 kgk = 1100 N/m

A = cm

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 30 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 40 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 40 cmf = 30 cm

m =

16.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.62이고 클래딩은 n₂ = 1.59이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.62n₂ = 1.59n₀ = 1.00

θ_a = °

3용액

1.운동학

답: s = 19.84 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

답

s = 19.84 m

2.운동학

답: t = 4.121 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−5 = 19·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 19·t − 5 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (19 + √(19² + 2·9.81·5))/9.81 = 4.121 s

답

t = 4.121 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 6.306 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

답

a = 6.306 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 15.74 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 3.434)/6 = 3.515 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·3.515 + 3.434 = 15.74 N

답

T = 15.74 N

5.포물선 운동

답: H = 8.116 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 35° = 18.02 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 35° = 12.62 m/s

최고점

최고점에서 연직 속도는 0입니다: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 12.62²/(2·9.81) = 8.116 m

답

H = 8.116 m

6.포물선 운동

답: α = 78.17 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 10·cos 50° = 6.428 m/s

v_y0 = 10·sin 50° = 7.66 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(7.66² + 2·9.81·45) = 30.69 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 30.69/6.428 → α = 78.17°

답

α = 78.17°

7.원운동

답: n = 24.1 rpm

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

탑승자에 작용하는 힘

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

각속도

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.7·2.2)) = 2.524 rad/s

회전수

n = ω·60/(2π) = 24.1 rpm

답

n = 24.1 rpm

8.원운동

답: T_top = 66.46 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 12² − 4·9.81·1 = 104.8 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.7·104.8/1 − 0.7·9.81 = 66.46 N

답

T_top = 66.46 N

9.일과 에너지

답: v = 10.72 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·13·(0.5736 − 0.15·0.8192)) = 10.72 m/s

답

v = 10.72 m/s

10.일과 에너지

답: d = 0.5047 m

스프링 에너지

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·2000·0.1² = 10 J

경사면을 따른 에너지 수지

m·g = 3·9.81 = 29.43 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 10/(29.43·(0.5 + 0.2·0.866)) = 0.5047 m

답

d = 0.5047 m

11.운동량과 충돌

답: v = 166.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

충돌 후의 흔들림

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

충돌

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 2)·0.9905/0.012 = 166.1 m/s

답

v = 166.1 m/s

12.운동량과 충돌

답: F_avg = 378 N

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

운동량 변화

J = m·Δv = 0.35·(18 + 9) = 9.45 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 9.45/0.025 = 378 N

답

F_avg = 378 N

13.용수철과 진자

답: g = 3.717 m/s²

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

g 구하기

g = 4π²·L/T² = 4π²·1.2/3.57² = 3.717 m/s²

답

g = 3.717 m/s²

14.용수철과 진자

답: A = 15.04 cm

충돌 후의 속력

V = m·v/(m + M) = 0.02·500/4.02 = 2.488 m/s

각주파수

ω = √(k/(m + M)) = √(1100/4.02) = 16.54 rad/s

진폭

A = V/ω = 2.488/16.54 = 0.1504 m = 15.04 cm

답

A = 15.04 cm

15.파동, 소리, 광학

답: m = −3

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/40

d_i = 120 cm

배율

m = −d_i/d_o = −120/40 = −3

답

m = −3

16.파동, 소리, 광학

답: θ_a = 18.08 °

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.59/1.62 = 0.9815 → θc = 78.96°

개구수

NA = √(1.62² − 1.59²) = 0.3103

수광각

θ_a = arcsin(0.3103) = 18.08°

답

θ_a = 18.08°

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