물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 이륙하려면 300 km/h의 속력이 필요하고 쓸 수 있는 활주로 길이는 800 m이다. 정지 상태에서 출발한다면 필요한 일정한 가속도 a은(는) 얼마인가?

v₀ = 0v = 300 km/hs = 800 m

a = m/s²

2.운동학어려움

모형 로켓을 정지 상태에서 똑바로 위로 발사한다. 엔진은 2 s 동안 위쪽으로 일정한 가속도 34 m/s²를 주고, 그 후 엔진이 멈추면 로켓은 자유 운동을 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 로켓이 도달하는 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

a = 34 m/s²t₁ = 2 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 11.5 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 130 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 11.5 m/sd = 130 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 6 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 2 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 6 kgm₂ = 2 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 수평 위 15°로 발사하자 100 m 떨어진 곳에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사 속력 v₀을(를) 구하시오.

θ = 15°R = 100 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.포물선 운동어려움

25 m 절벽 꼭대기에서 공을 35 m/s, 수평 위 55°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

자동차가 반지름 100 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.7이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 100 mμ_s = 0.7g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 1.5 m인 줄에 매단 공을 연직면에서 원운동시킨다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄이 겨우 팽팽하게 유지되는 최고점에서의 최소 속력 v_min을(를) 구하시오.

r = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.일과 에너지보통

장난감 발사기에 강성 2000 N/m인 수직 스프링이 있다. 0.5 kg 공을 올려놓고 스프링을 5 cm 압축한 다음 놓는다. 공기 저항과 스프링의 질량을 무시하고, 스프링이 압축되었을 때의 위치에서 잰 공의 상승 높이 h을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 5 cmg = 9.81 m/s²

h = m

10.일과 에너지어려움

5 kg 수레가 반지름 2.5 m인 연직 원형 루프로 이어지는 매끄러운 트랙 위 높이 8 m에서 가만히 놓인다. 루프 꼭대기에서 트랙이 수레에 작용하는 수직항력 N을(를) 구하시오.

m = 5 kgh = 8 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

11.운동량과 충돌보통

22 m/s로 움직이는 1600 kg 자동차가 정지해 있는 900 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1600 kgv₁ = 22 m/sm₂ = 900 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

10 g 총알을 길이 0.6 m의 가벼운 줄에 매달린 5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 25°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 10 gM = 5 kgL = 0.6 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

13.용수철과 진자보통

k = 70 N/m인 스프링에 매단 3.2 kg 질량을 양의 방향으로 4 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 1.1 s에서의 속도 v(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3.2 kgk = 70 N/mA = 4 cmt = 1.1 s

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

k = 70 N/m인 용수철에 매단 1.6 kg 물체를 평형 위치에서 16 cm 당겼다가 놓는다. 최대 가속도 a_max을(를) 구하시오.

m = 1.6 kgk = 70 N/mA = 16 cm

a_max = m/s²

15.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 1.2 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 1L = 1.2 m

f₁ = Hz

16.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 16 cm인 오목 거울 앞 50 cm에 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 50 cmR = 16 cm

m =

3용액

1.운동학

답: a = 4.34 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v = 300/3.6 = 83.33 m/s

가속도

a = v²/(2s) = 83.33²/(2·800) = 4.34 m/s²

답

a = 4.34 m/s²

2.운동학

답: h_max = 303.7 m

동력 비행 단계

v₁ = 34·2 = 68 m/s

h₁ = ½·34·2² = 68 m

위로의 자유 비행

최고점에서 속도는 0입니다.

Δh = v₁²/(2g) = 68²/(2·9.81) = 235.7 m

h_max = 68 + 235.7 = 303.7 m

답

h_max = 303.7 m

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.05185

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

감속도

a = v₀²/(2d) = 11.5²/(2·130) = 0.5087 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 0.5087/9.81 = 0.05185

답

μ = 0.05185

4.뉴턴 법칙

답: T = 17.66 N

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 11.77)/8 = 0.981 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·0.981 + 11.77 = 17.66 N

답

T = 17.66 N

5.포물선 운동

답: v₀ = 44.29 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

수평 도달 거리 공식을 v₀에 대해 풀기

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·100/sin 30°) = 44.29 m/s

답

v₀ = 44.29 m/s

6.포물선 운동

답: α = 61.01 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 35·cos 55° = 20.08 m/s

v_y0 = 35·sin 55° = 28.67 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(28.67² + 2·9.81·25) = 36.23 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 36.23/20.08 → α = 61.01°

답

α = 61.01°

7.원운동

답: v_max = 26.2 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.7·9.81·100) = 26.2 m/s

답

v_max = 26.2 m/s (94.34 km/h)

8.원운동

답: v_min = 3.836 m/s

최고점에서 장력 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·1.5) = 3.836 m/s

답

v_min = 3.836 m/s

9.일과 에너지

답: h = 0.5097 m

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

스프링 에너지

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·2000·0.05² = 2.5 J

높이

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/4.905 = 0.5097 m

답

h = 0.5097 m

10.일과 에너지

답: N = 68.67 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

꼭대기에서의 속력

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(8 − 5) = 58.86 m²/s²

꼭대기에서의 힘

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·58.86/2.5 − 49.05 = 68.67 N

답

N = 68.67 N

h = 2.5R이면 수레가 겨우 루프를 돌며, 이때 꼭대기에서 N = 0입니다.

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 139392 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1600·22/2500 = 14.08 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1600·22² = 387200 J

K_after = ½·2500·14.08² = 247808 J

잃은 에너지

ΔK = 387200 − 247808 = 139392 J

답

ΔK = 139392 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v = 526.2 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 0.6·(1 − cos 25°) = 0.05622 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.05622) = 1.05 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 5.01·1.05/0.01 = 526.2 m/s

답

v = 526.2 m/s

13.용수철과 진자

답: v = 0.1699 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(70/3.2) = 4.677 rad/s

ω·t = 4.677·1.1 = 5.145 rad

속도

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.04·4.677·sin(5.145) = 0.1699 m/s

답

v = 0.1699 m/s

14.용수철과 진자

답: a_max = 7 m/s²

단순 조화 운동: 용수철 상수 k인 용수철에 매달린 질량 m인 물체는 각진동수 ω = √(k/m), 주기 T = 2π/ω = 2π·√(m/k)로 진동합니다. 길이 L인 단진자의 주기는 T = 2π·√(L/g)입니다. 진폭이 A이면 최대 속력은 A·ω, 최대 가속도는 A·ω², 에너지는 ½·k·A²입니다.

각주파수

ω = √(70/1.6) = 6.614 rad/s

최대 가속도

a_max = A·ω² = 0.16·6.614² = 7 m/s²

답

a_max = 7 m/s²

15.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 71.46 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 4L/n = 4·1.2/1 = 4.8 m

진동수

f = v/λ = 343/4.8 = 71.46 Hz

답

f₁ = 71.46 Hz

16.파동, 소리, 광학

답: m = −0.1905

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

초점 거리

f = R/2 = 8 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/50

d_i = 9.524 cm

배율

m = −9.524/50 = −0.1905

답

m = −0.1905

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