물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

90 km/h로 달리던 운전자가 장애물을 본다. 반응 시간은 0.7 s이고, 그 후 자동차는 일정한 감속도 7.5 m/s²로 제동한다. 장애물을 본 순간부터의 총 정지 거리 d을(를) 구하시오.

v₀ = 90 km/ht_r = 0.7 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.운동학어려움

모형 로켓을 정지 상태에서 똑바로 위로 발사한다. 엔진은 3 s 동안 위쪽으로 일정한 가속도 28 m/s²를 주고, 그 후 엔진이 멈추면 로켓은 자유 운동을 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 로켓이 도달하는 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 15 kg인 블록이 수평과 40°를 이루는 마찰 없는 경사면을 미끄러져 내려간다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 15 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 5.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 1.5 kg 물체와 연결되어 있다. 탁자에는 마찰이 없다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 계의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 5.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 70° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 36 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

공을 높이 30 m인 절벽 위에서 수평에서 50° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 23 m/sθ = 50°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.원운동보통

놀이공원의 로터에서 탑승자는 반지름 2.3 m인 수직 원통의 벽에 기대어 선다. 충분히 빨리 돌면 바닥이 내려가고 마찰이 탑승자를 붙잡는다. 정지 마찰 계수는 0.4이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 최소 각속도 ω을(를) rad/s로 구하시오.

r = 2.3 mμ_s = 0.4g = 9.81 m/s²

ω = rad/s

8.원운동어려움

길이 1.1 m의 가벼운 줄에 매단 0.3 kg 공을 연직 원으로 돌린다. 가장 낮은 점에서의 속력은 9.5 m/s이다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 가장 높은 점에서 줄의 장력 T_top을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgr = 1.1 mv_bottom = 9.5 m/sg = 9.81 m/s²

T_top = N

9.일과 에너지보통

블록이 수평과 40°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. 경사면을 따라 14 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 40°μ = 0.3d = 14 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.일과 에너지어려움

2 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.1) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 5 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 3 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

7 m/s로 움직이는 질량 1 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 4.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′₁을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

12.운동량과 충돌어려움

질량 0.5 kg인 공이 23 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 9 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 10 ms이다. 벽이 공에 가한 충격량의 크기 J을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgv_in = 23 m/sv_out = 9 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

13.용수철과 진자보통

k = 50 N/m인 스프링에 매단 3.1 kg 질량을 양의 방향으로 9 cm 당겼다가 t = 0에 정지 상태에서 놓는다. t = 0.8 s에서의 속도 v(부호 포함)을(를) 구하시오.

m = 3.1 kgk = 50 N/mA = 9 cmt = 0.8 s

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

k = 440 N/m인 늘어나지 않은 수직 스프링의 아래 끝에 2.8 kg 질량을 달고 정지 상태에서 놓는다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 질량의 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

m = 2.8 kgk = 440 N/mg = 9.81 m/s²

v_max = m/s

15.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 5번째 배진동이(가) 715 Hz가 되어야 한다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관의 길이 L을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 5f₅ = 715 Hz

L = m

16.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.52이고 클래딩은 n₂ = 1.49이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.52n₂ = 1.49n₀ = 1.00

θ_a = °

3용액

1.운동학

답: d = 59.17 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

반응 거리

d₁ = v₀·t_r = 25·0.7 = 17.5 m

제동 거리

d₂ = v₀²/(2a) = 25²/(2·7.5) = 41.67 m

합계

d = 17.5 + 41.67 = 59.17 m

답

d = 59.17 m

2.운동학

답: h_max = 485.6 m

동력 비행 단계

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

위로의 자유 비행

최고점에서 속도는 0입니다.

Δh = v₁²/(2g) = 84²/(2·9.81) = 359.6 m

h_max = 126 + 359.6 = 485.6 m

답

h_max = 485.6 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 6.306 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

답

a = 6.306 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 2.102 m/s²

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 0)/7 = 2.102 m/s²

답

a = 2.102 m/s²

5.포물선 운동

답: t = 6.897 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 70° = 12.31 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 70° = 33.83 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·33.83/9.81 = 6.897 s

답

t = 6.897 s

6.포물선 운동

답: t = 4.852 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 50° = 14.78 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 50° = 17.62 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 30 + 17.62·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.62 + √(310.4 + 588.6))/9.81 = 4.852 s

답

t = 4.852 s

7.원운동

답: ω = 3.265 rad/s

Uniform circular motion: an object moving at speed v on a circle of radius r accelerates towards the centre with a = v²/r, so it needs a net inward force F = m·v²/r. That force is supplied by something real: friction, tension, gravity or a normal force.

탑승자에 작용하는 힘

N = m·ω²·r

μ·N = m·g → μ·ω²·r = g

각속도

ω = √(g/(μ·r)) = √(9.81/(0.4·2.3)) = 3.265 rad/s

답

ω = 3.265 rad/s

8.원운동

답: T_top = 9.899 N

꼭대기에서의 속력

높이 2r에 걸쳐 운동 에너지가 위치 에너지로 바뀝니다.

v_top² = 9.5² − 4·9.81·1.1 = 47.09 m²/s²

꼭대기에서의 힘

장력과 중력은 모두 아래, 중심을 향합니다.

T + m·g = m·v_top²/r

T = 0.3·47.09/1.1 − 0.3·9.81 = 9.899 N

답

T_top = 9.899 N

9.일과 에너지

답: v = 10.65 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·14·(0.6428 − 0.3·0.766)) = 10.65 m/s

답

v = 10.65 m/s

10.일과 에너지

답: v = 6.353 m/s

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 49.05·3 = 147.2 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·3 = 5.886 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 141.3 → v = √(2·141.3/7) = 6.353 m/s

답

v = 6.353 m/s

11.운동량과 충돌

답: v′₁ = −4.455 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (1 − 4.5)/(1 + 4.5)·7 = −4.455 m/s

v′₂ = 2·1/(1 + 4.5)·7 = 2.545 m/s

답

v′₁ = −4.455 m/s

음의 부호는 첫 번째 글라이더가 튕겨 되돌아간다는 뜻입니다.

12.운동량과 충돌

답: J = 16 N·s

운동량 변화

J = m·Δv = 0.5·(9 + 23) = 16 N·s

답

J = 16 N·s

13.용수철과 진자

답: v = 0.02574 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(50/3.1) = 4.016 rad/s

ω·t = 4.016·0.8 = 3.213 rad

속도

v = −A·ω·sin(ω·t) = −0.09·4.016·sin(3.213) = 0.02574 m/s

답

v = 0.02574 m/s

14.용수철과 진자

답: v_max = 0.7826 m/s

평형점과 진폭

x₀ = m·g/k = 2.8·9.81/440 = 0.06243 m = A

최대 속력

속력은 평형점에서 가장 큽니다.

ω = √(440/2.8) = 12.54 rad/s

v_max = A·ω = 0.06243·12.54 = 0.7826 m/s

답

v_max = 0.7826 m/s

15.파동, 소리, 광학

답: L = 0.5997 m

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

파장

λ = v/f = 343/715 = 0.4797 m

길이

L = nλ/4 = 5·0.4797/4 = 0.5997 m

답

L = 0.5997 m

16.파동, 소리, 광학

답: θ_a = 17.49 °

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.49/1.52 = 0.9803 → θc = 78.6°

개구수

NA = √(1.52² − 1.49²) = 0.3005

수광각

θ_a = arcsin(0.3005) = 17.49°

답

θ_a = 17.49°

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