물리학 1: 역학: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 16개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

원운동

구심 가속도: a = v²/r = ω²·r
구심력: F = m·v²/r
각속도: ω = v/r = 2π/T
평평한 커브, 마찰: v_max = √(μ·g·r)

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

용수철과 진자

용수철에 매달린 물체: T = 2π·√(m/k)
단진자: T = 2π·√(L/g)
각주파수: ω = √(k/m) = 2π/T
최대 속력과 최대 가속도: v_max = A·ω, a_max = A·ω²
에너지: E = ½·k·A²

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

36 km/h로 달리던 자동차가 3.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 36 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

지면에서 15 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 20 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 20 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

45 kg 상자를 수평과 20°를 이루는 경사로 위로 경사로에 평행한 힘으로 일정한 속력으로 민다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 미는 힘 F을(를) 구하시오.

m = 45 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.뉴턴 법칙어려움

평평한 바닥 위의 두 블록이 가벼운 수평 줄로 연결되어 있다. 수평력 145 N이 앞쪽의 5 kg 블록을 끌고, 9 kg 블록은 뒤에서 끌려온다. 두 블록 모두 운동 마찰 계수는 0.15이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록들의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 9 kgm₂ = 5 kgF = 145 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 55° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

35 m 절벽 꼭대기에서 공을 10 m/s, 수평 위 25°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 10 m/sθ = 25°h = 35 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.원운동보통

자동차가 반지름 140 m인 평평한 커브를 돈다. 타이어와 도로 사이의 정지 마찰 계수는 0.8이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 미끄러지지 않고 커브를 돌 수 있는 최대 속력 v_max을(를) 구하시오.

r = 140 mμ_s = 0.8g = 9.81 m/s²

v_max = m/s

8.원운동어려움

길이 0.5 m인 줄에 매단 공을 연직면에서 원운동시킨다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄이 겨우 팽팽하게 유지되는 최고점에서의 최소 속력 v_min을(를) 구하시오.

r = 0.5 mg = 9.81 m/s²

v_min = m/s

9.일과 에너지보통

5 kg 공이 길이 0.5 m인 가벼운 줄에 매달려 있다. 줄이 연직과 50°를 이룰 때까지 옆으로 당겼다가 가만히 놓는다. 공이 가장 낮은 점을 지날 때 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m = 5 kgL = 0.5 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

10.일과 에너지어려움

5 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.3) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 4 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 1 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgμ = 0.3d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

11.운동량과 충돌보통

23 m/s로 움직이는 1800 kg 자동차가 정지해 있는 1800 kg 자동차와 충돌해 두 차가 한 덩어리가 된다. 충돌에서 잃은 운동 에너지 ΔK은(는) 얼마인가?

m₁ = 1800 kgv₁ = 23 m/sm₂ = 1800 kgv₂ = 0

ΔK = J

12.운동량과 충돌어려움

교차로에서 동쪽으로 16 m/s로 달리던 1200 kg 자동차가 북쪽으로 15 m/s로 달리던 1400 kg 자동차와 충돌한다. 두 차는 한 덩어리가 된다. 충돌 직후 잔해의 속력 v′을(를) 구하시오.

m₁ = 1200 kgv₁ = 16 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

13.용수철과 진자보통

k = 170 N/m인 스프링에 매단 1.4 kg 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 18 cm로 진동한다. 평형점에서 7 cm 떨어져 있을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1.4 kgk = 170 N/mA = 18 cmx = 7 cm

v = m/s

14.용수철과 진자어려움

k = 210 N/m인 스프링에 매단 질량이 마찰 없는 면 위에서 진폭 4 cm로 진동한다. 질량이 평형점에서 2 cm 떨어져 있을 때 스프링에 저장된 에너지 U을(를) 구하시오.

k = 210 N/mA = 4 cmx = 2 cm

U = J

15.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 20 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 40 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 40 cmf = 20 cm

m =

16.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.46이고 클래딩은 n₂ = 1.36이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.46n₂ = 1.36n₀ = 1.00

θ_a = °

3용액

1.운동학

답: s = 14.29 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 10²/(2·3.5) = 14.29 m

답

s = 14.29 m

2.운동학

답: t = 4.725 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−15 = 20·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 20·t − 15 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (20 + √(20² + 2·9.81·15))/9.81 = 4.725 s

답

t = 4.725 s

3.뉴턴 법칙

답: F = 192.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

경사면 방향의 힘

일정한 속력: 힘이 평형을 이룹니다.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

미는 힘

F = 151 + 41.48 = 192.5 N

답

F = 192.5 N

4.뉴턴 법칙

답: a = 8.886 m/s²

전체 계

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (145 − 20.6)/14 = 8.886 m/s²

답

a = 8.886 m/s²

5.포물선 운동

답: t = 1.67 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·8.192/9.81 = 1.67 s

답

t = 1.67 s

6.포물선 운동

답: α = 71.15 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 10·cos 25° = 9.063 m/s

v_y0 = 10·sin 25° = 4.226 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(4.226² + 2·9.81·35) = 26.54 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 26.54/9.063 → α = 71.15°

답

α = 71.15°

7.원운동

답: v_max = 33.15 m/s

등속 원운동: 반지름 r인 원 위를 속력 v로 움직이는 물체는 중심 쪽으로 a = v²/r의 가속도를 가지므로, 중심을 향하는 알짜힘 F = m·v²/r이 필요합니다. 이 힘은 마찰력, 장력, 중력, 수직항력 같은 실제 힘이 제공합니다.

마찰력이 구심력을 제공한다

m·v²/r = μ·m·g

v = √(μ·g·r) = √(0.8·9.81·140) = 33.15 m/s

답

v_max = 33.15 m/s (119.3 km/h)

8.원운동

답: v_min = 2.215 m/s

최고점에서 장력 0

m·g = m·v²/r → v = √(g·r) = √(9.81·0.5) = 2.215 m/s

답

v_min = 2.215 m/s

9.일과 에너지

답: T = 84.09 N

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d). 원 궤도에서는 중심을 향한 알짜힘이 mv²/r과 같아야 합니다.

바닥에서의 속력

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 50°) = 3.504 m²/s²

바닥에서의 힘

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

T = mg + mv²/L = 49.05 + 5·3.504/0.5 = 84.09 N

답

T = 84.09 N

검산: T = mg(3 − 2cos θ) = 84.09 N.

10.일과 에너지

답: v = 2.335 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 39.24·1 = 39.24 J

μ·m₁g·d = 0.3·49.05·1 = 14.71 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 24.53 → v = √(2·24.53/9) = 2.335 m/s

답

v = 2.335 m/s

11.운동량과 충돌

답: ΔK = 238050 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

공통 속도

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1800·23/3600 = 11.5 m/s

충돌 전후의 운동 에너지

K_before = ½·1800·23² = 476100 J

K_after = ½·3600·11.5² = 238050 J

잃은 에너지

ΔK = 476100 − 238050 = 238050 J

답

ΔK = 238050 J

잃은 에너지는 변형, 열, 소리로 갑니다.

12.운동량과 충돌

답: v′ = 10.94 m/s

운동량 성분

p_x = 1200·16 = 19200 kg·m/s

p_y = 1400·15 = 21000 kg·m/s

잔해의 속력

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 28454/2600 = 10.94 m/s

답

v′ = 10.94 m/s

13.용수철과 진자

답: v = 1.827 m/s

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

각주파수

ω = √(170/1.4) = 11.02 rad/s

x에서의 속력

v = ω·√(A² − x²) = 11.02·√(0.18² − 0.07²) = 1.827 m/s

답

v = 1.827 m/s

14.용수철과 진자

답: U = 0.042 J

전체 에너지

E = ½·k·A² = ½·210·0.04² = 0.168 J

x에서의 스프링 에너지

U = ½·k·x² = ½·210·0.02² = 0.042 J

답

U = 0.042 J

15.파동, 소리, 광학

답: m = −1

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/20 − 1/40

d_i = 40 cm

배율

m = −d_i/d_o = −40/40 = −1

답

m = −1

16.파동, 소리, 광학

답: θ_a = 32.08 °

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.36/1.46 = 0.9315 → θc = 68.67°

개구수

NA = √(1.46² − 1.36²) = 0.531

수광각

θ_a = arcsin(0.531) = 32.08°

답

θ_a = 32.08°

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