공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

90 km/h로 달리던 자동차가 4.5 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 90 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

공 A를 높이 45 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 19 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 지면에서 몇 m 높이 y에서 만나는가?

H = 45 mv_0B = 19 m/sg = 9.81 m/s²

y = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 7 kg인 블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 7 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 1.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 1.5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 1.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 60° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿을 때까지의 비행 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 36 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

t = s

6.포물선 운동어려움

공을 높이 30 m인 절벽 위에서 수평에서 55° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 27 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

블록이 수평과 20°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. 경사면을 따라 9 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 20°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.일과 에너지어려움

3 kg 블록이 거친 수평 테이블(μ = 0.1) 위에 놓여 있다. 가벼운 줄이 블록에서 테이블 가장자리의 매끄러운 도르래를 지나 매달린 5 kg 블록에 연결되어 있다. 계를 정지 상태에서 놓는다. 매달린 블록이 1 m 내려간 뒤 블록들의 속력 v을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1d = 1 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.운동량과 충돌보통

2 m/s로 움직이는 질량 2.5 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 4 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′₁을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m₁ = 2.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.3 kg인 공이 16 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 4 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 50 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgv_in = 16 m/sv_out = 4 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.연속 방정식과 베르누이보통

물이 11 L/s로 100 mm에서 50 mm로 좁아지는 수평관을 흐른다. 좁은 구간의 압력은 100 kPa이다. 손실을 무시하고 넓은 구간의 압력 p₁을(를) 구하시오.

Q = 11 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.연속 방정식과 베르누이어려움

물이 100 mm에서 40 mm(으)로 좁아지며 4 m 올라가는 관을 따라 위로 흐른다. 단면 1의 압력은 280 kPa, 유속은 1.25 m/s이다. 손실을 무시하고 단면 2의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 280 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.이상 기체 법칙보통

300 kPa, 65 °C에서 He 270 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 270 gM = 4.003 g/molP = 300 kPaT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.이상 기체 법칙어려움

150 kPa, 150 °C에서 CO₂의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 44.01 g/molP = 150 kPaT = 150 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

가역(카르노) 열기관이 사이클마다 800 °C의 열저장소에서 4000 kJ의 열을 받고 1111 kJ를 방출한다. 저온 열저장소의 온도 T_L을(를) °C로 구하시오.

T_H = 800 °CQ_H = 4000 kJQ_L = 1111 kJ

T_L = °C

18.열기관과 냉동기어려움

냉장고가 35 °C인 부엌에서 냉장실을 2 °C로 유지하며 냉장실에서 0.5 kW의 열을 제거한다. 가능한 최대 성능 계수 COP_max을(를) 구하시오.

T_H = 35 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 0.5 kW

COP_max =

19.파동, 소리, 광학보통

물체가 초점 거리 30 cm인 얇은 수렴 렌즈 앞 10 cm에 서 있다. 배율 m을(를) 구하시오(거꾸로 선 상이면 음수).

d_o = 10 cmf = 30 cm

m =

20.파동, 소리, 광학어려움

정지한 주차 센서가 20 m/s로 다가오는 자동차를 향해 25 kHz의 초음파를 보낸다. 센서가 되받는 반향의 진동수 f″을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 25 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3용액

1.운동학

답: s = 69.44 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·4.5) = 69.44 m

답

s = 69.44 m

2.운동학

답: y = 17.49 m

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

45 − ½g·t² = 19·t − ½g·t² → t = 45/19 = 2.368 s

만나는 높이

y = 19·2.368 − ½·9.81·2.368² = 17.49 m

답

y = 17.49 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 2.356 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

답

a = 2.356 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 8.829 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 2.943)/3 = 3.924 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·3.924 + 2.943 = 8.829 N

답

T = 8.829 N

5.포물선 운동

답: t = 6.356 s

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 36·cos 60° = 18 m/s

v_y = v₀·sin θ = 36·sin 60° = 31.18 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·31.18/9.81 = 6.356 s

답

t = 6.356 s

6.포물선 운동

답: x = 86.74 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 55° = 15.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 55° = 22.12 m/s

체공 시간

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0을 풀어 양의 근을 택합니다.

0 = 30 + 22.12·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (22.12 + √(489.2 + 588.6))/9.81 = 5.601 s

수평 거리

x = v_x·t = 15.49·5.601 = 86.74 m

답

x = 86.74 m

7.일과 에너지

답: v = 5.959 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·9·(0.342 − 0.15·0.9397)) = 5.959 m/s

답

v = 5.959 m/s

8.일과 에너지

답: v = 3.395 m/s

방출되고 손실된 에너지

m₂g·d = 49.05·1 = 49.05 J

μ·m₁g·d = 0.1·29.43·1 = 2.943 J

두 블록의 운동 에너지

½(m₁ + m₂)v² = 46.11 → v = √(2·46.11/8) = 3.395 m/s

답

v = 3.395 m/s

9.운동량과 충돌

답: v′₁ = −0.4615 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (2.5 − 4)/(2.5 + 4)·2 = −0.4615 m/s

v′₂ = 2·2.5/(2.5 + 4)·2 = 1.538 m/s

답

v′₁ = −0.4615 m/s

음의 부호는 첫 번째 글라이더가 튕겨 되돌아간다는 뜻입니다.

10.운동량과 충돌

답: F_avg = 120 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.3·(4 + 16) = 6 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 6/0.05 = 120 N

답

F_avg = 120 N

11.정수압

답: F = 69.9 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·1.5 = 69.9 kN

답

F = 69.9 kN

12.정수압

답: y_cp = 3.028 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·3 = 111.2 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.25/(3·3) = 3.028 m

답

y_cp = 3.028 m

13.연속 방정식과 베르누이

답: p₁ = 114.7 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

유속

v₁ = Q/A₁ = 0.011/0.007854 = 1.401 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.011/0.001963 = 5.602 m/s

베르누이 방정식

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(5.602² − 1.401²)/1000 = 100 + 14.71 = 114.7 kPa

답

p₁ = 114.7 kPa

14.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 211 kPa

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/40)² = 7.813 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 7.813²)/1000 = −29.74 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 280 + (−29.74) − 39.24 = 211 kPa

답

p₂ = 211 kPa

15.이상 기체 법칙

답: V = 632.1 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 270/4.003 = 67.45 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

부피

V = nRT/P = 67.45·8.314·338.1/300 = 632.1 L

답

V = 632.1 L

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 1.876 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 150 + 273.15 = 423.1 K

밀도

ρ = 150·44.01/(8.314·423.1) = 1.876 kg/m³

답

ρ = 1.876 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: T_L = 24.92 °C

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

열원의 절대 온도

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

가역 사이클의 열 비

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·1111/4000 = 298.1 K = 24.92 °C

답

T_L = 24.92 °C

18.열기관과 냉동기

답: COP_max = 8.338

절대 온도

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

가능한 최고 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(308.1 − 275.1) = 8.338

답

COP_max = 8.338

19.파동, 소리, 광학

답: m = 1.5

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

얇은 렌즈 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/10

d_i = −15 cm

배율

m = −d_i/d_o = −(−15)/10 = 1.5

답

m = 1.5

20.파동, 소리, 광학

답: f″ = 28096 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

자동차에서의 진동수

f′ = 25000·(343 + 20)/343 = 26458 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 − 20) = 28096 Hz

답

f″ = 28096 Hz

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