공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 15 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 2.5 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차가 따라잡는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

v_car = 15 m/sa_police = 2.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.운동학어려움

지면에서 15 m 높이에 있는 지붕 가장자리에서 공을 11 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 쓴다. 던진 뒤 공이 지면에 닿을 때까지의 시간 t을(를) 구하시오.

v₀ = 11 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

20 kg 상자를 수평과 20°를 이루는 경사로 위로 경사로에 평행한 힘으로 일정한 속력으로 민다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 미는 힘 F을(를) 구하시오.

m = 20 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

F = N

4.뉴턴 법칙어려움

블록을 밀어 25° 경사로 위로 3.5 m/s의 속력으로 미끄러져 올라가게 한다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록은 멈추기 전까지 경사로를 따라 얼마나 멀리 d 미끄러지는가?

v₀ = 3.5 m/sθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 55° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 땅에 닿기 전까지 이동한 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 20 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 18 m/s, 수평 위 60°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 5 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 18 m/sθ = 60°h_roof = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

블록이 수평과 30°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.15이다. 경사면을 따라 19 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 30°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.일과 에너지어려움

15° 경사면 아래에 있는 강성 3000 N/m인 스프링을 1 kg 블록으로 20 cm 압축했다가 놓는다. 블록과 경사면 사이의 운동 마찰 계수는 0.15이다. 블록은 놓은 점에서 경사면을 따라 얼마나 멀리 d 올라간 뒤 멈추는가? (스프링이 미는 짧은 거리는 무시하고, 마찰과 중력은 전체 거리 d에 걸쳐 작용한다고 하시오.)

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 20 cmθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.운동량과 충돌보통

수평으로 33 m/s로 움직이던 13 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 3 kg 파편은 64 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 10 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 13 kgu = 33 m/sm₁ = 3 kgv′₁ = 64 m/sm₂ = 10 kg

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.3 kg인 공이 10 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 8 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 20 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgv_in = 10 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 1.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.연속 방정식과 베르누이보통

풍동의 피토 정압관이 정체압과 정압의 차이를 700 Pa로 나타낸다. 공기 밀도는 1.2 kg/m³이다. 풍속 v을(를) 구하시오.

p₀ − p = 700 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.연속 방정식과 베르누이어려움

분수 노즐이 똑바로 위를 향한다. 노즐 바로 아래 공급관의 지름은 75 mm, 계기 압력은 30 kPa이다. 노즐 출구 지름은 30 mm이며 노즐 전후의 높이 차는 무시할 수 있다. 손실과 공기 저항을 무시하고 분류가 노즐 위로 올라가는 높이 H을(를) 구하시오. g = 9.81 m/s²를 사용하시오.

d₁ = 75 mmp₁ = 30 kPa (게이지압)d₂ = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.이상 기체 법칙보통

부피 5 L인 탱크에 30 °C의 He 20 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 20 gM = 4.003 g/molV = 5 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

일정량의 O₂이(가) 300 kPa, 5 L, 35 °C에서 450 kPa, 70 °C(으)로 변한다. 새 부피 V₂을(를) 구하시오.

P₁ = 300 kPaV₁ = 5 LT₁ = 35 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.열기관과 냉동기보통

가역 냉장고가 7.5 kW의 열을 제거해 냉장실을 -25 °C로 유지하고, 30 °C의 주위로 열을 방출한다. 열을 방출하는 비율 Q̇_H을(를) 구하시오.

T_L = -25 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 7.5 kW

Q̇_H = kW

18.열기관과 냉동기어려움

열펌프가 -5 °C의 열원에서 열을 흡수해 35 °C의 난방 시스템에 9 kW의 열을 공급한다. 실제 COP는 이 두 온도 사이의 카르노 COP의 60%이다. 소비하는 전력 Ẇ을(를) 구하시오.

T_H = 35 °CT_L = -5 °Cη_II = 60%Q̇_H = 9 kW

Ẇ = kW

19.파동, 소리, 광학보통

10 m/s로 움직이는 1000 Hz의 음원과 15 m/s로 움직이는 관측자가 서로 가까워진다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_s = 10 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

광섬유의 코어는 n₁ = 1.62이고 클래딩은 n₂ = 1.54이다. 공기 중의 빛이 섬유의 끝면으로 들어가 전반사로 계속 안내될 수 있는 섬유 축에 대한 최대 각 θ_a을(를) 구하시오.

n₁ = 1.62n₂ = 1.54n₀ = 1.00

θ_a = °

3용액

1.운동학

답: t = 12 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·15/2.5 = 12 s

답

t = 12 s

그 순간 경찰차는 2v = 30 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: t = 3.199 s

운동 방정식

위쪽이 양이고, 지면은 출발점보다 h₀ 아래에 있습니다.

−15 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 15 = 0

이차방정식 풀기

물리적으로 의미 있는 것은 양의 근뿐입니다.

t = (11 + √(11² + 2·9.81·15))/9.81 = 3.199 s

답

t = 3.199 s

3.뉴턴 법칙

답: F = 104 N

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

일정한 속력: 힘이 평형을 이룹니다.

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

미는 힘

F = 67.1 + 36.87 = 104 N

답

F = 104 N

4.뉴턴 법칙

답: d = 1.216 m

감속도

두 힘 모두 경사면 아래를 향하며, 질량은 약분됩니다.

a = 9.81·(sin 25° + 0.1·cos 25°) = 5.035 m/s²

거리

d = v₀²/(2a) = 3.5²/(2·5.035) = 1.216 m

답

d = 1.216 m

5.포물선 운동

답: x = 38.32 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 20·cos 55° = 11.47 m/s

v_y = v₀·sin θ = 20·sin 55° = 16.38 m/s

체공 시간

출발점과 착지점이 같은 높이: t = 2v_y/g.

t = 2·16.38/9.81 = 3.34 s

수평 거리

x = v_x·t = 11.47·3.34 = 38.32 m

답

x = 38.32 m

6.포물선 운동

답: x = 25.34 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 9 m/s, v_y = 15.59 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

5 = 15.59·t − 4.905·t²

t = (15.59 + √(15.59² − 2·9.81·5))/9.81 = 2.816 s

수평 거리

x = v_x·t = 9·2.816 = 25.34 m

답

x = 25.34 m

7.일과 에너지

답: v = 11.75 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.5 − 0.15·0.866)) = 11.75 m/s

답

v = 11.75 m/s

8.일과 에너지

답: d = 15.15 m

스프링 에너지

x = 20 cm = 0.2 m

½kx² = ½·3000·0.2² = 60 J

경사면을 따른 에너지 수지

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 60/(9.81·(0.2588 + 0.15·0.9659)) = 15.15 m

답

d = 15.15 m

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 23.7 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 전 운동량

p = M·u = 13·33 = 429 kg·m/s

충돌 후 운동량

429 = 3·64 + 10·v′₂

v′₂ = (429 − 192)/10 = 23.7 m/s

답

v′₂ = 23.7 m/s

10.운동량과 충돌

답: F_avg = 270 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.3·(8 + 10) = 5.4 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 5.4/0.02 = 270 N

답

F_avg = 270 N

11.정수압

답: F = 206 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

답

F = 206 kN

12.정수압

답: y_cp = 2.633 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4 = 98.1 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1.333/(2.5·4) = 2.633 m

답

y_cp = 2.633 m

13.연속 방정식과 베르누이

답: v = 34.16 m/s

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

정체점까지의 베르누이 식

유동이 끝부분에서 정지하므로 운동 에너지가 추가 압력으로 나타납니다.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·700/1.2) = 34.16 m/s

답

v = 34.16 m/s

14.연속 방정식과 베르누이

답: H = 3.138 m

출구 유속

β = 30/75 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·30000/(1000·0.9744)) = 7.847 m/s

분류의 높이

분류를 따른 베르누이 식: 꼭대기에서 유속은 0이고 압력은 다시 대기압입니다.

H = v₂²/(2g) = 7.847²/(2·9.81) = 3.138 m

답

H = 3.138 m

15.이상 기체 법칙

답: P = 2519 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 20/4.003 = 4.996 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

압력

P = nRT/V = 4.996·8.314·303.1/0.005 = 2519 kPa

답

P = 2519 kPa

16.이상 기체 법칙

답: V₂ = 3.712 L

보일-샤를 법칙: 일정량의 이상 기체에서 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

절대 온도

T₁ = 308.1 K, T₂ = 343.1 K

보일-샤를 법칙

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(300/450)·(343.1/308.1) = 3.712 L

답

V₂ = 3.712 L

17.열기관과 냉동기

답: Q̇_H = 9.162 kW

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

가역 사이클의 열 비

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 7.5·303.1/248.1 = 9.162 kW

답

Q̇_H = 9.162 kW

입력 동력: Ẇ = 1.662 kW.

18.열기관과 냉동기

답: Ẇ = 1.947 kW

절대 온도

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

카르노 COP와 실제 COP

COP_max = 308.1/(308.1 − 268.1) = 7.704

COP = 0.6·7.704 = 4.622

입력 동력

Ẇ = Q̇_H/COP = 9/4.622 = 1.947 kW

답

Ẇ = 1.947 kW

19.파동, 소리, 광학

답: f′ = 1075 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 15)/(343 − 10)

f′ = 1075 Hz

답

f′ = 1075 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: θ_a = 30.18 °

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

클래딩에서의 임계각

sin θc = 1.54/1.62 = 0.9506 → θc = 71.92°

개구수

NA = √(1.62² − 1.54²) = 0.5028

수광각

θ_a = arcsin(0.5028) = 30.18°

답

θ_a = 30.18°

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