공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

일정한 21 m/s로 과속하는 자동차가 정지해 있는 경찰차를 지나간다. 그 순간 경찰차가 출발해 6 m/s²로 균일하게 가속한다. 경찰차가 따라잡는 데 얼마나 걸리는가? t을(를) 구하시오.

v_car = 21 m/sa_police = 6 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.운동학어려움

모형 로켓을 정지 상태에서 똑바로 위로 발사한다. 엔진은 3 s 동안 위쪽으로 일정한 가속도 28 m/s²를 주고, 그 후 엔진이 멈추면 로켓은 자유 운동을 한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 로켓이 도달하는 최고 높이 h_max을(를) 구하시오.

a = 28 m/s²t₁ = 3 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.뉴턴 법칙보통

상자가 처음 속력 9 m/s로 평평한 바닥을 미끄러지다가 17 m 후에 멈춘다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 운동 마찰 계수 μ을(를) 구하시오.

v₀ = 9 m/sd = 17 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.뉴턴 법칙어려움

35° 경사로 위의 3 kg 블록이 경사로 꼭대기의 마찰 없는 도르래를 지나는 가벼운 줄로 매달린 8 kg 질량과 연결되어 있다. 매달린 질량은 아래로 움직인다. 블록과 경사로 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 8 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 65° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 도달하는 최대 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 12 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

H = m

6.포물선 운동어려움

30 m 절벽 꼭대기에서 공을 27 m/s, 수평 위 30°로 발사한다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 수평 아래 몇 도 α의 각으로 지면에 닿는가?

v₀ = 27 m/sθ = 30°h = 30 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.일과 에너지보통

블록이 수평과 45°를 이루는 경사면을 정지 상태에서 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.3이다. 경사면을 따라 5 m 미끄러진 뒤의 속력 v을(를) 구하시오.

θ = 45°μ = 0.3d = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.일과 에너지어려움

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 3.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 3 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 500 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 3.5 mL = 3 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.운동량과 충돌보통

수평으로 39 m/s로 움직이던 13 kg 발사체가 폭발해 같은 직선을 따라 움직이는 두 파편으로 나뉜다. 5 kg 파편은 91 m/s로 앞으로 계속 움직인다. 8 kg 파편의 속도 v′₂(원래 방향을 양으로)을(를) 구하시오.

M = 13 kgu = 39 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 91 m/sm₂ = 8 kg

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

질량 0.3 kg인 공이 28 m/s로 벽에 부딪힌 뒤 12 m/s로 똑바로 튀어나온다. 접촉 시간은 40 ms이다. 벽이 공에 작용한 평균 힘 F_avg을(를) 구하시오.

m = 0.3 kgv_in = 28 m/sv_out = 12 m/sΔt = 40 ms

F_avg = N

11.정수압보통

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 4 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 글리세린이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수면 아래 압력 중심의 깊이 y_cp을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.연속 방정식과 베르누이보통

물이 100 mm에서 75 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 310 kPa, 유속은 2.75 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 310 kPav₁ = 2.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.연속 방정식과 베르누이어려움

안지름 40 mm의 호스로 열린 탱크의 물을 사이펀으로 빼낸다. 호스의 가장 높은 점 C는 수면보다 1 m 위에 있고, (대기에 열린) 출구는 수면보다 1.5 m 아래에 있다. 손실을 무시하고 g = 9.81 m/s²로 하시오. 점 C의 절대 압력 p_C을(를) 구하시오. 대기압은 101.3 kPa이다.

d = 40 mmz_C = +1 mz₂ = −1.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.이상 기체 법칙보통

부피 5 L인 탱크에 35 °C의 N₂ 160 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 160 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

일정량의 Ar이(가) 400 kPa, 10 L, 15 °C에서 600 kPa, 60 °C(으)로 변한다. 새 부피 V₂을(를) 구하시오.

P₁ = 400 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 600 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 700 °C의 고온 열원과 15 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 이 기관은 4100 kJ의 열을 받는다. 얻을 수 있는 최대 일 W_max을(를) 구하시오.

T_H = 700 °CT_L = 15 °CQ_H = 4100 kJ

W_max = kJ

18.열기관과 냉동기어려움

열기관이 사이클마다 300 °C의 열저장소에서 4900 kJ의 열을 받아 1960 kJ의 일을 하고 나머지를 15 °C의 열저장소로 방출한다. 사이클당 총 엔트로피 생성량 S_gen을(를) 구하시오.

T_H = 300 °CT_L = 15 °CQ_H = 4900 kJW = 1960 kJ

S_gen = kJ/K

19.파동, 소리, 광학보통

한쪽 끝이 닫힌 관의 길이는 1.5 m이다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 기본 진동(1차 배진동)의 진동수 f₁을(를) 구하시오.

v = 343 m/sn = 1L = 1.5 m

f₁ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

물체가 곡률 반지름 16 cm인 오목 거울 앞 10 cm에 있다. 거울 앞의 상(실상)이면 양수, 거울 뒤의 상(허상)이면 음수로 하여 상거리 d_i을(를) 구하시오.

d_o = 10 cmR = 16 cm

d_i = cm

3용액

1.운동학

답: t = 7 s

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

같은 거리

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·21/6 = 7 s

답

t = 7 s

그 순간 경찰차는 2v = 42 m/s로 움직입니다.

2.운동학

답: h_max = 485.6 m

동력 비행 단계

v₁ = 28·3 = 84 m/s

h₁ = ½·28·3² = 126 m

위로의 자유 비행

최고점에서 속도는 0입니다.

Δh = v₁²/(2g) = 84²/(2·9.81) = 359.6 m

h_max = 126 + 359.6 = 485.6 m

답

h_max = 485.6 m

3.뉴턴 법칙

답: μ = 0.2428

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

감속도

a = v₀²/(2d) = 9²/(2·17) = 2.382 m/s²

마찰 계수

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 2.382/9.81 = 0.2428

답

μ = 0.2428

4.뉴턴 법칙

답: T = 35.43 N

줄 방향의 힘

m₂·g = 78.48 N

m₁·g·sin θ = 16.88 N

μ·m₁·g·cos θ = 2.411 N

계의 가속도

a = (78.48 − 16.88 − 2.411)/11 = 5.381 m/s²

매달린 질량에서 구한 장력

m₂·g − T = m₂·a → T = 8·(9.81 − 5.381) = 35.43 N

답

T = 35.43 N

5.포물선 운동

답: H = 6.029 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 12·cos 65° = 5.071 m/s

v_y = v₀·sin θ = 12·sin 65° = 10.88 m/s

최고점

최고점에서 연직 속도는 0입니다: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 10.88²/(2·9.81) = 6.029 m

답

H = 6.029 m

6.포물선 운동

답: α = 49.9 °

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 27·cos 30° = 23.38 m/s

v_y0 = 27·sin 30° = 13.5 m/s

충돌 시 수직 속력

에너지 또는 수직 방향의 v² = v₀² + 2as.

v_y = √(13.5² + 2·9.81·30) = 27.76 m/s

충돌 각

tan α = v_y/v_x = 27.76/23.38 → α = 49.9°

답

α = 49.9°

7.일과 에너지

답: v = 6.968 m/s

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

경사면을 따른 에너지 수지

블록이 높이 d·sin θ만큼 내려가는 동안 마찰이 μmg·cos θ·d를 빼앗습니다. 질량이 소거됩니다.

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·5·(0.7071 − 0.3·0.7071)) = 6.968 m/s

답

v = 6.968 m/s

8.일과 에너지

답: v = 7.924 m/s

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.1·3) = 31.39 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.2) = 7.924 m/s

답

v = 7.924 m/s

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 6.5 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

충돌 전 운동량

p = M·u = 13·39 = 507 kg·m/s

충돌 후 운동량

507 = 5·91 + 8·v′₂

v′₂ = (507 − 455)/8 = 6.5 m/s

답

v′₂ = 6.5 m/s

10.운동량과 충돌

답: F_avg = 300 N

운동량 변화

J = m·Δv = 0.3·(12 + 28) = 12 N·s

평균 힘

F_avg = J/Δt = 12/0.04 = 300 N

답

F_avg = 300 N

11.정수압

답: F = 196.2 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·4 = 196.2 kN

답

F = 196.2 kN

12.정수압

답: y_cp = 1.4 m

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.25·1.5 = 23.18 kN

압력 중심

압력은 깊이에 따라 커지므로 합력은 도심 아래에 작용합니다.

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.25 + 0.2813/(1.25·1.5) = 1.4 m

답

y_cp = 1.4 m

13.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 301.8 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(100/75)² = 4.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 4.889²)/1000 = −8.169 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 310 + (−8.169) = 301.8 kPa

답

p₂ = 301.8 kPa

14.연속 방정식과 베르누이

답: p_C = 76.78 kPa

호스 안의 유속

수면과 출구는 모두 대기에 열려 있으므로 압력 항이 상쇄됩니다.

v = √(2g·1.5) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

수면에서 C까지의 베르누이 식

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(5.425²/2 + 9.81·1)/1000 = 101.3 − 24.53 = 76.78 kPa

답

p_C = 76.78 kPa

이 압력이 물의 증기압까지 떨어지면 사이펀은 작동을 멈춥니다.

15.이상 기체 법칙

답: P = 2927 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 160/28.01 = 5.712 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

압력

P = nRT/V = 5.712·8.314·308.1/0.005 = 2927 kPa

답

P = 2927 kPa

16.이상 기체 법칙

답: V₂ = 7.708 L

보일-샤를 법칙: 일정량의 이상 기체에서 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

절대 온도

T₁ = 288.1 K, T₂ = 333.1 K

보일-샤를 법칙

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(400/600)·(333.1/288.1) = 7.708 L

답

V₂ = 7.708 L

17.열기관과 냉동기

답: W_max = 2886 kJ

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/973.1 = 70.39 %

최대 일

W_max = η_max·Q_H = 0.7039·4100 = 2886 kJ

답

W_max = 2886 kJ

18.열기관과 냉동기

답: S_gen = 1.654 kJ/K

엔트로피 생성: 한 사이클 전체에서 작동 유체의 순 엔트로피 변화는 없습니다. 고온 열저장소는 Q_H/T_H를 잃고 저온 열저장소는 Q_L/T_L을 얻습니다. 그 합이 엔트로피 생성량이며, 가역 사이클에서는 0, 모든 실제 사이클에서는 양수입니다.

방출열

Q_L = Q_H − W = 4900 − 1960 = 2940 kJ

절대 온도

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

열저장소의 엔트로피 변화

ΔS_H = −4900/573.1 = −8.549 kJ/K

ΔS_L = 2940/288.1 = 10.2 kJ/K

S_gen = 10.2 − 8.549 = 1.654 kJ/K

답

S_gen = 1.654 kJ/K

S_gen > 0이므로 이 기관은 가능하지만 비가역입니다.

19.파동, 소리, 광학

답: f₁ = 57.17 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

이 진동 모드의 파장

λ = 4L/n = 4·1.5/1 = 6 m

진동수

f = v/λ = 343/6 = 57.17 Hz

답

f₁ = 57.17 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: d_i = 40 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

초점 거리

f = R/2 = 8 cm

거울 공식

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/10

d_i = 40 cm

광선도

거울 앞의 실상

답

d_i = 40 cm

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