공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

120 km/h로 달리던 자동차가 7 m/s²의 일정한 감속도로 제동하여 멈춘다. 제동 거리 s을(를) 구하시오.

v₀ = 120 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.운동학어려움

트램이 정지 상태에서 출발해 9 s 동안 1 m/s²로 가속한 다음, 9 s 동안 등속으로 달리고, 마지막으로 3 m/s²로 제동해 멈춘다. 두 정류장 사이의 총거리 s을(를) 구하시오.

a₁ = 1 m/s²t₁ = 9 st₂ = 9 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.뉴턴 법칙보통

질량 12 kg인 블록이 수평과 40°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.2이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 12 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

수평 탁자 위에 있는 질량 1.5 kg인 블록이 가벼운 줄로 마찰 없는 도르래를 거쳐 매달린 5 kg 물체와 연결되어 있다. 블록과 탁자 사이의 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 줄의 장력 T을(를) 구하시오.

m₁ = 1.5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.포물선 운동보통

평지에서 공을 22 m/s, 수평 위 50°로 15 m 떨어진 벽을 향해 찬다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 공은 벽을 몇 m 높이 y에서 지나는가?

v₀ = 22 m/sθ = 50°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 36 m/s, 수평 위 65°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 19 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 36 m/sθ = 65°h_roof = 19 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

질량 4 kg인 블록이 수평과 20°를 이루는 경사면을 4 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.25이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 4 kgθ = 20°μ = 0.25d = 4 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.일과 에너지어려움

질량 1 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 4.5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 2000 N/m)에 부딪힌다. 블록이 스프링에 닿을 때의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 1 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.1k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.운동량과 충돌보통

5 m/s로 움직이는 질량 3 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 3.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 두 번째 글라이더의 속도 v′₂을(를) 구하시오.

m₁ = 3 kgm₂ = 3.5 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

8 g 총알을 길이 1.3 m의 가벼운 줄에 매달린 3.5 kg 블록에 수평으로 쏘아 박히게 한다. 줄은 연직에서 최대 10°까지 흔들려 나간다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 충돌 전 총알의 속력 v을(를) 구하시오.

m = 8 gM = 3.5 kgL = 1.3 mθ = 10°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.정수압보통

폭 1.5 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 3 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 3 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

물이 75 mm에서 40 mm(으)로 좁아지는 수평관을 흐른다. 넓은 부분의 압력은 250 kPa, 유속은 2 m/s이다. 손실을 무시하고 좁은 부분의 압력 p₂을(를) 구하시오.

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 250 kPav₁ = 2 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.연속 방정식과 베르누이어려움

밀폐된 물탱크의 수면 위에 계기 압력 70 kPa의 압축 공기가 있다. 물은 수면보다 4 m 아래에 있는 지름 40 mm의 구멍을 통해 대기 중으로 나간다. 손실을 무시하고 다음을 구하시오: 유량 Q. g = 9.81 m/s²를 쓴다.

p_air = 70 kPa (게이지압)h = 4 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.이상 기체 법칙보통

600 kPa, 100 °C에서 CO₂ 60 g이(가) 차지하는 부피 V은(는) 얼마인가? 이상 기체로 본다.

m = 60 gM = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.이상 기체 법칙어려움

일정량의 CH₄이(가) 350 kPa, 10 L, 35 °C에서 550 kPa, 200 °C(으)로 변한다. 새 부피 V₂을(를) 구하시오.

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 550 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 725 °C의 고온 열원과 20 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 가능한 최대 열효율 η_max을(를) 구하시오.

T_H = 725 °CT_L = 20 °C

η_max = %

18.열기관과 냉동기어려움

카르노 열기관이 400 °C의 열원에서 130 kW의 열을 받고 30 °C의 주위로 열을 방출한다. 그 일은 모두 카르노 냉동기를 구동하며, 냉동기는 -30 °C의 냉동고에서 열을 제거하고 역시 30 °C의 주위로 열을 방출한다. 냉동고에서 열을 제거하는 비율 Q̇_L을(를) 구하시오.

T_H = 400 °CT₀ = 30 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 130 kW

Q̇_L = kW

19.파동, 소리, 광학보통

15 m/s로 움직이는 400 Hz의 음원과 10 m/s로 움직이는 관측자가 서로 멀어진다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 15 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

얇은 렌즈 두 개가 같은 축 위에 15 cm 떨어져 있다. 렌즈 1은 f₁ = 20 cm, 렌즈 2는 f₂ = 10 cm이다. 물체가 렌즈 1 앞 25 cm에 서 있다. 렌즈 2에서 잰 최종 상의 위치 d_i2을(를) 구하시오(렌즈 2 뒤쪽이 양수이며, 실상이 양수인 규약).

f₁ = 20 cmf₂ = 10 cms = 15 cmd_o = 25 cm

d_i2 = cm

3용액

1.운동학

답: s = 79.37 m

등가속도 운동: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t², v² = v₀² + 2·a·s. 아는 세 양과 구하려는 양이 들어 있는 식을 고르고, 양의 방향을 하나 정해 부호를 일관되게 쓰세요.

단위

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

제동 거리

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·7) = 79.37 m

답

s = 79.37 m

2.운동학

답: s = 135 m

최고 속력

v = a₁·t₁ = 1·9 = 9 m/s

각 단계의 거리

s₁ = ½·1·9² = 40.5 m

s₂ = 9·9 = 81 m

s₃ = 9²/(2·3) = 13.5 m

총거리

s = 40.5 + 81 + 13.5 = 135 m

답

s = 135 m

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.803 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

답

a = 4.803 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: T = 12.45 N

계의 가속도

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 1.472)/6.5 = 7.32 m/s²

탁자 위 블록에서 구한 장력

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 1.5·7.32 + 1.472 = 12.45 N

답

T = 12.45 N

5.포물선 운동

답: y = 12.36 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

벽까지의 시간

v_x = 22·cos 50° = 14.14 m/s

t = x/v_x = 15/14.14 = 1.061 s

그 시각의 높이

y = 16.85·1.061 − ½·9.81·1.061² = 12.36 m

답

y = 12.36 m

공은 벽에서 아직 올라가는 중입니다.

6.포물선 운동

답: x = 91.39 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

v_x = 15.21 m/s, v_y = 32.63 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

19 = 32.63·t − 4.905·t²

t = (32.63 + √(32.63² − 2·9.81·19))/9.81 = 6.007 s

수평 거리

x = v_x·t = 15.21·6.007 = 91.39 m

답

x = 91.39 m

7.일과 에너지

답: W_f = 36.87 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 39.24·0.9397 = 36.87 N

F = μN = 0.25·36.87 = 9.218 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 9.218·4 = 36.87 J

답

W_f = 36.87 J

8.일과 에너지

답: v = 9.291 m/s

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.1·1) = 43.16 J

스프링에서의 속력

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·4.4) = 9.291 m/s

답

v = 9.291 m/s

9.운동량과 충돌

답: v′₂ = 4.615 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (3 − 3.5)/(3 + 3.5)·5 = −0.3846 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 3.5)·5 = 4.615 m/s

답

v′₂ = 4.615 m/s

10.운동량과 충돌

답: v = 273 m/s

블록의 상승

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 10°) = 0.01975 m

충돌 후의 속력

V = √(2·9.81·0.01975) = 0.6225 m/s

충돌

v = (m + M)·V/m = 3.508·0.6225/0.008 = 273 m/s

답

v = 273 m/s

11.정수압

답: F = 117.7 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

답

F = 117.7 kN

12.정수압

답: F = 207.2 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4·6 = 207.2 kN

답

F = 207.2 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: p₂ = 227.3 kPa

연속 방정식과 베르누이: 비압축성 유체는 모든 단면에서 유량이 같습니다: Q = A₁v₁ = A₂v₂. 손실 없는 유선을 따라 p + ½ρv² + ρgz는 일정하므로, 유체가 빠르거나 높은 곳일수록 압력이 낮습니다.

연속 방정식과 베르누이

Pa로 계산한 뒤 1000으로 나눠 kPa를 얻습니다.

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7.031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7.031²)/1000 = −22.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−22.72) = 227.3 kPa

답

p₂ = 227.3 kPa

14.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 18.57 L/s

수면에서 분류까지의 베르누이 식

v = √(2·(70000/1000 + 9.81·4)) = 14.78 m/s

유량

Q = A·v = 0.001257·14.78 = 0.01857 m³/s = 18.57 L/s

답

Q = 18.57 L/s

15.이상 기체 법칙

답: V = 7.049 L

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = 60/44.01 = 1.363 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

부피

V = nRT/P = 1.363·8.314·373.1/600 = 7.049 L

답

V = 7.049 L

16.이상 기체 법칙

답: V₂ = 9.771 L

보일-샤를 법칙: 일정량의 이상 기체에서 P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂.

절대 온도

T₁ = 308.1 K, T₂ = 473.1 K

보일-샤를 법칙

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/550)·(473.1/308.1) = 9.771 L

답

V₂ = 9.771 L

17.열기관과 냉동기

답: η_max = 70.63 %

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/998.1 = 70.63 %

답

η_max = 70.63 %

18.열기관과 냉동기

답: Q̇_L = 289.6 kW

절대 온도

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

기관의 일

η = 1 − 303.1/673.1 = 0.5497

Ẇ = 0.5497·130 = 71.46 kW

냉동기가 제거한 열

COP_R = 243.1/(303.1 − 243.1) = 4.052

Q̇_L = 4.052·71.46 = 289.6 kW

답

Q̇_L = 289.6 kW

19.파동, 소리, 광학

답: f′ = 372.1 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 10)/(343 + 15)

f′ = 372.1 Hz

답

f′ = 372.1 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: d_i2 = 8.947 cm

기하 광학: 경계에서 n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂(스넬의 법칙)이며, 각은 법선에서 재고 n = c/v입니다. 더 느린 매질로 들어가면 광선은 법선 쪽으로 굽습니다. 밀한 매질(n₁ > n₂)에서 임계각 θ_c = arcsin(n₂/n₁)을 넘으면 모든 빛이 반사됩니다: 전반사. 얇은 렌즈와 구면 거울은 1/f = 1/d_o + 1/d_i를 따르며 배율은 m = −d_i/d_o입니다. 부호 규약: 볼록 렌즈와 오목 거울은 f > 0(f = R/2), 오목 렌즈와 볼록 거울은 f < 0이고, 실상은 d_i > 0, 허상은 d_i < 0이며, 거꾸로 선 상은 m < 0입니다.

렌즈 1의 상

1/d_i1 = 1/20 − 1/25 → d_i1 = 100 cm

렌즈 2의 물체

d_o2 = 15 − 100 = −85 cm

최종 상

1/d_i2 = 1/10 − 1/(−85) → d_i2 = 8.947 cm

답

d_i2 = 8.947 cm

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