공학물리: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 20개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

운동학

속도: v = v₀ + a·t
변위: s = v₀·t + ½·a·t²
시간 없이: v² = v₀² + 2·a·s
단위: 1 m/s = 3.6 km/h

방법

아는 값을 단위와 함께 적으세요: v₀, v, a, t, s.
아는 세 값과 미지수를 포함하는 식을 고르세요.
양의 방향을 하나 정하고 반대 방향의 양에는 음의 부호를 붙이세요.
풀고 나서 답이 물리적으로 타당한지 확인하세요.

뉴턴 법칙

뉴턴 제2법칙: ΣF = m·a
무게: W = m·g
운동 마찰: F_f = μ·N
경사면에서: 경사면 방향: m·g·sin θ, 수직 방향: m·g·cos θ

방법

물체에 작용하는 모든 힘을 넣어 자유물체도를 그리세요.
운동 방향을 따라 양의 방향을 정하세요.
힘을 운동 방향과 그 수직 방향 성분으로 나누세요(빗면에서는 빗면을 따라 m·g·sin θ, 빗면 안쪽으로 m·g·cos θ).
운동 방향으로 ΣF = m·a를 적용하세요. 마찰력은 운동 반대 방향으로 μ·N입니다.

포물선 운동

성분: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
위치: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
최고 높이: H = h + v_y²/(2g)
수평 도달 거리 (평지): R = v₀²·sin 2θ/g

방법

발사 속도를 성분으로 나누세요: v_x = v₀·cos θ, v_y = v₀·sin θ.
수평 운동은 등속이고, 연직 운동의 가속도는 −g입니다.
연직 운동에서 비행 시간을 구하세요.
그 시간을 수평 운동에 넣어 수평 도달 거리를 구하세요.

일과 에너지

운동 에너지: E_k = ½mv²
위치 에너지: E_p = mgh
에너지 수지: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
마찰력이 한 일: W = μ·N·d
전력: P = W/t

운동량과 충돌

운동량: p = m·v
보존: Σm·v (before) = Σm·v (after)
완전 비탄성: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
충격량: J = F·Δt = m·Δv

방법

양의 방향을 정하고 각 속도에 부호를 붙이세요.
충돌 전 전체 운동량을 쓰세요: Σm·v.
완전 비탄성 충돌에서는 충돌 후 물체들이 함께 움직이고, 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존됩니다.
충돌 전 운동량과 충돌 후 운동량을 같게 놓고 푸세요.

정수압

깊이에 따른 압력: p = ρgh
수직 벽에 작용하는 힘: F = ρg·h_c·A
압력 중심: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
직사각형: I_c = bH³/12

연속 방정식과 베르누이

연속 방정식: A₁v₁ = A₂v₂
베르누이 방정식: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
유량: Q = A·v
원의 넓이: A = πd²/4

이상 기체 법칙

이상 기체 법칙: pV = nRT
기체 상수: R = 8.314 J/(mol·K)
보일-샤를 법칙: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
몰수: n = m/M
온도: T[K] = T[°C] + 273.15

열기관과 냉동기

효율: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
카르노 효율: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
냉동기 COP: COP_R = Q_C/W
열펌프 COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
에너지 수지: Q_H = W + Q_C

파동, 소리, 광학

파동의 속력: v = fλ, T = 1/f
줄: v = √(T/μ), μ = m/L
음의 세기 수준: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
점음원: I = P/(4πr²)
정상파: 줄 또는 열린 관 f_n = n·v/(2L); 닫힌 관 f_n = n·v/(4L), n은 홀수
도플러 효과: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
굴절률: n = c/v, λ = λ₀/n
스넬의 법칙: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
임계각: sin θ_c = n₂/n₁
광섬유: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
렌즈와 거울: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
이중 슬릿: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
회절 격자: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
단일 슬릿: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

방법

문제의 종류를 파악하세요: 파동의 속력, 음의 세기 수준, 정상파, 도플러, 굴절, 렌즈나 거울, 또는 간섭.
관계식을 먼저 쓰세요: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) 또는 n·v/(4L), f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
단위를 바꾸세요: nm, mm, cm를 m로. 그리고 각이 법선에서 재어진 것인지 확인하세요.
부호와 타당성을 확인하세요: 허상은 dᵢ < 0이고, 다가오는 음원은 더 높게 들리며, 닫힌 관에는 홀수 배진동만 있습니다.

2연습 문제

1.운동학보통

비행기가 이륙하려면 260 km/h의 속력이 필요하고 쓸 수 있는 활주로 길이는 1100 m이다. 정지 상태에서 출발한다면 필요한 일정한 가속도 a은(는) 얼마인가?

v₀ = 0v = 260 km/hs = 1100 m

a = m/s²

2.운동학어려움

공 A를 높이 35 m에서 가만히 떨어뜨린다. 같은 순간 바로 아래 지면에서 공 B를 20 m/s로 똑바로 위로 던진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 두 공은 언제 만나는가? t을(를) 구하시오.

H = 35 mv_0B = 20 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.뉴턴 법칙보통

질량 7 kg인 블록이 수평과 35°를 이루는 경사면을 미끄러져 내려간다. 운동 마찰 계수는 0.1이다. g = 9.81 m/s²를 쓴다. 경사면을 따르는 블록의 가속도 a을(를) 구하시오.

m = 7 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.뉴턴 법칙어려움

평평한 바닥 위의 두 블록이 가벼운 수평 줄로 연결되어 있다. 수평력 135 N이 앞쪽의 12 kg 블록을 끌고, 6 kg 블록은 뒤에서 끌려온다. 두 블록 모두 운동 마찰 계수는 0.25이다. g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 블록들의 가속도 a을(를) 구하시오.

m₁ = 6 kgm₂ = 12 kgF = 135 Nμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.포물선 운동보통

공을 평지에서 수평에서 60° 위로 던진다. 공기 저항은 무시한다. 공이 도달하는 최대 높이 H을(를) 구하시오.

v₀ = 22 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.포물선 운동어려움

지면에서 공을 30 m/s, 수평 위 70°로 던진다. 공은 내려오는 도중에 높이 4 m인 건물의 평평한 지붕에 떨어진다. 공기 저항은 무시하고 g = 9.81 m/s²를 사용하시오. 발사점에서 떨어진 곳까지의 수평 거리 x을(를) 구하시오.

v₀ = 30 m/sθ = 70°h_roof = 4 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.일과 에너지보통

질량 0.5 kg인 블록이 수평과 45°를 이루는 경사면을 19 m 미끄러져 내려가며, 운동 마찰 계수는 0.4이다. 마찰에 대해 한 일 W_f을(를) 구하시오.

m = 0.5 kgθ = 45°μ = 0.4d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.일과 에너지어려움

질량 5 kg인 블록을 매끄러운 경사로의 높이 5 m에서 가만히 놓는다. 아래에서 길이 1.5 m인 거친 수평 구간(μ = 0.1)을 지난 뒤, 매끄러운 면에서 스프링(k = 800 N/m)에 부딪힌다. 스프링의 최대 압축량 x을(를) 구하시오.

m = 5 kgh = 5 mL = 1.5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.운동량과 충돌보통

9 m/s로 움직이는 질량 3 kg인 글라이더가 마찰 없는 트랙 위에 정지해 있는 질량 2.5 kg인 글라이더와 완전 탄성 정면충돌을 한다. 충돌 후 첫 번째 글라이더의 속도 v′₁을(를) 구하시오(처음 진행 방향을 양으로 한다).

m₁ = 3 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.운동량과 충돌어려움

교차로에서 동쪽으로 24 m/s로 달리던 800 kg 자동차가 북쪽으로 14 m/s로 달리던 1200 kg 자동차와 충돌한다. 두 차는 한 덩어리가 된다. 충돌 직후 잔해의 속력 v′을(를) 구하시오.

m₁ = 800 kgv₁ = 24 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

11.정수압보통

폭 1 m인 연직 직사각형 수문이 물이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 2.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.정수압어려움

폭 2 m인 연직 직사각형 수문이 기름이(가) 담긴 탱크 벽에 있고, 위쪽 가장자리는 수면 아래 0.5 m에 있다. 수문에 작용하는 정수압 합력 F을(를) 구하시오.

d = 0.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.연속 방정식과 베르누이보통

수도관의 피토 정압관이 정체압과 정압의 차이를 12 kPa로 나타낸다. 끝부분에서의 물의 유속 v을(를) 구하시오.

p₀ − p = 12 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.연속 방정식과 베르누이어려움

밀폐된 물탱크의 수면 위에 계기 압력 110 kPa의 압축 공기가 있다. 물은 수면보다 3.5 m 아래에 있는 지름 30 mm의 구멍을 통해 대기 중으로 나간다. 손실을 무시하고 다음을 구하시오: 유량 Q. g = 9.81 m/s²를 쓴다.

p_air = 110 kPa (게이지압)h = 3.5 md = 30 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.이상 기체 법칙보통

부피 10 L인 탱크에 65 °C의 CH₄ 50 g이(가) 들어 있다. 이상 기체로 보고 압력 P을(를) 구하시오.

m = 50 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.이상 기체 법칙어려움

400 kPa, 110 °C에서 N₂의 밀도 ρ을(를) 이상 기체로 보고 구하시오.

M = 28.01 g/molP = 400 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.열기관과 냉동기보통

열기관이 600 °C의 고온 열원과 5 °C의 저온 열원 사이에서 작동한다. 가능한 최대 열효율 η_max을(를) 구하시오.

T_H = 600 °CT_L = 5 °C

η_max = %

18.열기관과 냉동기어려움

냉장고가 28 °C인 부엌에서 냉장실을 2 °C로 유지하며 냉장실에서 4 kW의 열을 제거한다. 가능한 최대 성능 계수 COP_max을(를) 구하시오.

T_H = 28 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 4 kW

COP_max =

19.파동, 소리, 광학보통

20 m/s로 움직이는 400 Hz의 음원과 20 m/s로 움직이는 관측자가 서로 멀어진다. 소리의 속력은 343 m/s이다. 관측자가 듣는 진동수 f′을(를) 구하시오.

f = 400 Hzv = 343 m/sv_s = 20 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.파동, 소리, 광학어려움

정지한 센서가 20 m/s로 멀어지는 자동차를 향해 35 kHz의 초음파를 보내고, 반향을 송신 신호와 섞는다. 맥놀이 진동수 f_b을(를) 구하시오(소리의 속력 343 m/s).

f = 35 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3용액

1.운동학

답: a = 2.371 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

단위

v = 260/3.6 = 72.22 m/s

가속도

a = v²/(2s) = 72.22²/(2·1100) = 2.371 m/s²

답

a = 2.371 m/s²

2.운동학

답: t = 1.75 s

만나는 시간

위쪽을 양으로 하고, 지면은 y = 0입니다.

35 − ½g·t² = 20·t − ½g·t² → t = 35/20 = 1.75 s

답

t = 1.75 s

3.뉴턴 법칙

답: a = 4.823 m/s²

뉴턴 제2법칙: 물체에 작용하는 알짜힘은 질량과 가속도의 곱과 같습니다: ΣF = m·a. 자유물체도를 그리고, 운동 방향을 따라 양의 방향을 정한 뒤, 그 방향의 모든 힘을 더하세요: 가한 힘, 운동을 방해하는 마찰력 μ·N, 중력의 성분.

경사면 방향의 힘

경사면 아래쪽이 양입니다.

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

가속도

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

답

a = 4.823 m/s²

4.뉴턴 법칙

답: a = 5.047 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

전체 계

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 44.15)/18 = 5.047 m/s²

답

a = 5.047 m/s²

5.포물선 운동

답: H = 18.5 m

포물선 운동: 공기 저항이 없으면 x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt². 두 방향은 독립이며 같은 시간만 공유합니다.

초기 속도 분해

수평 속도는 일정하고, 연직 운동은 아래쪽으로 일정한 가속도 g = 9.81 m/s²을(를) 가집니다.

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 60° = 11 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 60° = 19.05 m/s

최고점

최고점에서 연직 속도는 0입니다: v_y² = 2gH.

H = v_y²/(2g) = 19.05²/(2·9.81) = 18.5 m

답

H = 18.5 m

6.포물선 운동

답: x = 57.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

초기 속도 분해

v_x = 10.26 m/s, v_y = 28.19 m/s

지붕에 떨어지는 시간

큰 근: 공이 내려오는 중입니다.

4 = 28.19·t − 4.905·t²

t = (28.19 + √(28.19² − 2·9.81·4))/9.81 = 5.602 s

수평 거리

x = v_x·t = 10.26·5.602 = 57.48 m

답

x = 57.48 m

7.일과 에너지

답: W_f = 26.36 J

일-에너지 원리: 운동 에너지의 변화는 모든 힘이 한 일과 같습니다. 중력과 스프링을 위치 에너지(mgh와 ½kx²)로 쓰면 수지가 됩니다: 처음 에너지 = 나중 에너지 + 마찰로 잃은 에너지 (μN·d).

마찰력

N = mg·cos θ = 4.905·0.7071 = 3.468 N

F = μN = 0.4·3.468 = 1.387 N

마찰에 대한 일

W_f = F·d = 1.387·19 = 26.36 J

답

W_f = 26.36 J

8.일과 에너지

답: x = 77.12 cm

거친 구간을 지난 뒤 남은 에너지

경사로는 매끄러우므로 에너지를 빼앗는 것은 거친 구간뿐입니다.

mgh − μmgL = 49.05·(5 − 0.1·1.5) = 237.9 J

최대 압축량

½kx² = 237.9 → x = √(2·237.9/800) = 0.7712 m = 77.12 cm

답

x = 77.12 cm

9.운동량과 충돌

답: v′₁ = 0.8182 m/s

운동량 보존: 충돌하는 동안 외력이 작용하지 않으면 충돌 전 전체 운동량 Σm·v는 충돌 후와 같습니다. 속도에는 방향이 있으므로 양의 방향을 정하고 반대 방향 속도에는 음의 부호를 붙이세요. 탄성 충돌에서는 운동 에너지도 보존되고, 완전 비탄성 충돌에서는 두 물체가 한 덩어리가 됩니다.

정지한 표적과의 탄성 충돌

운동량 보존과 에너지 보존을 연립해 풀면 이 두 결과가 나옵니다.

v′₁ = (3 − 2.5)/(3 + 2.5)·9 = 0.8182 m/s

v′₂ = 2·3/(3 + 2.5)·9 = 9.818 m/s

답

v′₁ = 0.8182 m/s

10.운동량과 충돌

답: v′ = 12.76 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

운동량 성분

p_x = 800·24 = 19200 kg·m/s

p_y = 1200·14 = 16800 kg·m/s

잔해의 속력

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 25512/2000 = 12.76 m/s

답

v′ = 12.76 m/s

11.정수압

답: F = 91.97 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.5 = 91.97 kN

답

F = 91.97 kN

12.정수압

답: F = 103.6 kN

평면에 작용하는 정수압: F = ρ·g·y_c·A. 이 힘은 압력 중심 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)에 작용하며, 이는 항상 도심 아래에 있습니다.

도심 깊이와 면적

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

합력

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2·6 = 103.6 kN

답

F = 103.6 kN

13.연속 방정식과 베르누이

답: v = 4.899 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

정체점까지의 베르누이 식

유동이 끝부분에서 정지하므로 운동 에너지가 추가 압력으로 나타납니다.

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·12000/1000) = 4.899 m/s

답

v = 4.899 m/s

14.연속 방정식과 베르누이

답: Q = 12.01 L/s

수면에서 분류까지의 베르누이 식

v = √(2·(110000/1000 + 9.81·3.5)) = 16.99 m/s

유량

Q = A·v = 0.0007069·16.99 = 0.01201 m³/s = 12.01 L/s

답

Q = 12.01 L/s

15.이상 기체 법칙

답: P = 876.4 kPa

이상 기체 법칙: PV = nRT, n = m/M.

몰수

n = m/M = 50/16.04 = 3.117 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

압력

P = nRT/V = 3.117·8.314·338.1/0.01 = 876.4 kPa

답

P = 876.4 kPa

16.이상 기체 법칙

답: ρ = 3.517 kg/m³

이상 기체의 밀도: ρ = PM/(RT).

기체 법칙 정리

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

밀도

ρ = 400·28.01/(8.314·383.1) = 3.517 kg/m³

답

ρ = 3.517 kg/m³

17.열기관과 냉동기

답: η_max = 68.14 %

제2법칙의 한계: 절대 온도 T_H와 T_L인 열원 사이에서 작동하는 어떤 사이클도 가역(카르노) 사이클을 넘을 수 없습니다: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L), COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). 에너지는 항상 보존됩니다: Q_H = W + Q_L.

절대 온도

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

카르노 효율

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/873.1 = 68.14 %

답

η_max = 68.14 %

18.열기관과 냉동기

답: COP_max = 10.58

절대 온도

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

가능한 최고 COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(301.1 − 275.1) = 10.58

답

COP_max = 10.58

19.파동, 소리, 광학

답: f′ = 355.9 Hz

정상파와 도플러 효과: 양 끝이 고정된 줄이나 양 끝이 열린 관에는 반파장의 정수 배가 들어맞습니다: L = nλ/2, f_n = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … 한쪽 끝이 닫힌 관은 닫힌 끝이 마디이고 열린 끝이 배입니다: L = nλ/4이며 n은 홀수만 가능하고 f_n = n·v/(4L)입니다. 음원이나 관측자가 둘을 잇는 직선을 따라 움직이면 f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)입니다. 서로를 향해 움직일 때는 위쪽 부호를 쓰세요. 진동수가 거의 같은 두 파동은 |f₁ − f₂|로 맥놀이합니다.

도플러 공식

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 400·(343 − 20)/(343 + 20)

f′ = 355.9 Hz

답

f′ = 355.9 Hz

20.파동, 소리, 광학

답: f_b = 3857 Hz

자동차에서의 진동수

f′ = 35000·(343 − 20)/343 = 32959 Hz

반향의 진동수

f″ = f′·343/(343 + 20) = 31143 Hz

맥놀이 진동수

f_b = |f″ − f| = 3857 Hz

답

f_b = 3857 Hz

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