3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 30 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 90%, 역률은 0.9(지상)이다. 전원의 선간 전압은 690 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 30 kWη = 90%cos φ = 0.9VL = 690 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 150 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 150 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.95VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: ΔIL = 2.864 A
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 2.7/9 = 0.3
켜짐 시간 동안의 인덕터 전압
S가 켜져 있는 동안 인덕터는 Vin과 Vo 사이에 있습니다.
VL = 9 − 2.7 = 6.3 V
리플 전류
ΔIL = VL·D/(L·f) = 6.3·0.3/(33·10⁻⁶·20·10³) = 2.864 A
답
ΔIL = 2.864 A
2.DC-DC 컨버터
답: ΔVo = 2455 mV
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 1 − 36/90 = 0.6
부하 전류
Io = 90/4 = 22.5 A
출력 리플
ΔVo = 22.5·0.6/(25·10³·220·10⁻⁶) = 2455 mV
답
ΔVo = 2455 mV
3.직류 전동기
답: Tstall = 275 N·m
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
정지 전류
Ia = V/Ra = 220/1.2 = 183.3 A
정지 토크
Tstall = 1.5·183.3 = 275 N·m
답
Tstall = 275 N·m
4.직류 전동기
답: Pmax = 1152 W
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
역기전력의 함수로 나타낸 전력
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
최대 전력
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·0.5) = 1152 W
답
Pmax = 1152 W
이 지점에서 효율은 50 %에 불과하므로 실제 전동기는 절반 속도보다 훨씬 높은 속도에서 운전합니다.
5.교류 전력과 역률
답: X = 23.43 Ω
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
유효 전력에서 구한 저항
R = P/I² = 978/8.5² = 13.54 Ω
임피던스에서 구한 리액턴스
|Z| = V/I = 230/8.5 = 27.06 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(27.06² − 13.54²) = 23.43 Ω
답
X = 23.43 Ω
6.교류 전력과 역률
답: Inew = 212.6 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(36.87°) = 37.5 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 27.35 kvar
새 선전류
Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(240·0.98) = 212.6 A
답
Inew = 212.6 A
7.3상 전력
답: IL = 30.99 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 30/0.9 = 33.33 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 33333/(√3·690·0.9) = 30.99 A
답
IL = 30.99 A
8.3상 전력
답: Cph = 1761 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.