스위치가 켜져 있는 동안의 인덕터 전압을 구한 뒤 ΔIL = VL·D/(L·f)를 쓰세요.
출력 리플은 커패시터로 들어가고 나오는 전하를 구하고, CCM 경계는 평균 인덕터 전류를 ΔIL/2와 같게 놓으세요.
직류 전동기
전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc
방법
전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
2연습 문제
1.DC-DC 컨버터보통
이상적인 승압 컨버터가 5 Ω 부하에 대해 24 V를 60 V로 바꿉니다. 평균 인덕터 전류 IL을(를) 구하시오.
Vin = 24 VVo = 60 VR = 5 Ω
IL = A
2.DC-DC 컨버터어려움
이상적인 강압(벅) 컨버터가 25 kHz에서 2 Ω 부하에 대해 15 V를 6 V로 바꿉니다. 연속 전도 모드를 위한 최소 인덕턴스 Lcrit을(를) 구하시오.
Vin = 15 VVo = 6 Vf = 25 kHzR = 2 Ω
Lcrit = µH
3.직류 전동기보통
k = 0.3 V·s/rad인 직류 전동기가 48 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 48 Vk = 0.3 V·s/rad
n0 = rpm
4.직류 전동기어려움
220 V 직류 전동기의 전기자 저항이 1 Ω입니다. 기동 전류를 30 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.
V = 220 VRa = 1 ΩImax = 30 A
Rst = Ω
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.6로 35 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 35 kWpf = 0.6V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
25 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.85의 13 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 25 kVAP1 = 13 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 90 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 91%, 역률은 0.85(지상)이다. 전원의 선간 전압은 400 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 90 kWη = 91%cos φ = 0.85VL = 400 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 100 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 100 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: IL = 30 A
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 1 − 24/60 = 0.6
부하 전류
Io = 60/5 = 12 A
인덕터 전류
IL = Io/(1 − D) = 12/0.4 = 30 A
답
IL = 30 A
2.DC-DC 컨버터
답: Lcrit = 24 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 6/15 = 0.4
경계 조건
평균 인덕터 전류를 리플 전류의 절반과 같게 놓고 L에 대해 푸세요.
Lcrit = (1 − D)·R/(2f)
임계 인덕턴스
Lcrit = (1 − 0.4)·2/(225·10³) = 24 µH
답
Lcrit = 24 µH
3.직류 전동기
답: n0 = 1528 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
무부하 속도
ω₀ = V/k = 48/0.3 = 160 rad/s
n0 = 60·160/(2π) = 1528 rpm
답
n0 = 1528 rpm
4.직류 전동기
답: Rst = 6.333 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전체 저항
Ra + Rst = 220/30 = 7.333 Ω
기동 저항기
Rst = 7.333 − 1 = 6.333 Ω
답
Rst = 6.333 Ω
전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.
5.교류 전력과 역률
답: Q = 46.67 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.6) = 53.13°, tan φ = 1.333
무효 전력
Q = P·tan φ = 35·1.333 = 46.67 kvar
답
Q = 46.67 kvar
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 10.67 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 13·tan(arccos 0.85) = 8.057 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(25² − 8.057²) = 23.67 kW
추가 유효 전력
ΔP = 23.67 − 13 = 10.67 kW
답
ΔP = 10.67 kW
7.3상 전력
답: IL = 167.9 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 90/0.91 = 98.9 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 98901/(√3·400·0.85) = 167.9 A
답
IL = 167.9 A
8.3상 전력
답: Cph = 146.4 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.