직류 전동기(k = 0.3 N·m/A, Ra = 1 Ω)가 48 V에서 동작하며 부하 토크 1.8 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 48 Vk = 0.3 N·m/ARa = 1 ΩT = 1.8 N·m
n = rpm
4.직류 전동기어려움
소형 직류 전동기의 전기자 저항이 0.5 Ω이고 48 V에서 동작합니다. 회전 손실을 무시하고, 어떤 속도에서든 낼 수 있는 최대 기계적 출력 Pmax을(를) 구하시오.
V = 48 VRa = 0.5 Ω
Pmax = W
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.85로 40 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 40 kWpf = 0.85V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 400 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.8로 25 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.9(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.
P = 25 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 37 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 88%, 역률은 0.8(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 37 kWη = 88%cos φ = 0.8VL = 415 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: L = 19.2 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 7.2/12 = 0.6
인덕턴스
L = 4.8·0.6/(1.5·100·10³) = 19.2 µH
답
L = 19.2 µH
2.DC-DC 컨버터
답: C = 327.3 µF
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 9/15 = 0.6
인덕터 리플 전류
ΔIL = (15 − 9)·0.6/(220·10⁻⁶·25·10³) = 0.6545 A
정전 용량
C = 0.6545/(8·25·10³·10·10⁻³) = 327.3 µF
답
C = 327.3 µF
3.직류 전동기
답: n = 1337 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 1.8/0.3 = 6 A
역기전력과 속도
E = 48 − 6·1 = 42 V
ω = E/k = 140 rad/s → n = 1337 rpm
답
n = 1337 rpm
4.직류 전동기
답: Pmax = 1152 W
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
역기전력의 함수로 나타낸 전력
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V
최대 전력
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·0.5) = 1152 W
답
Pmax = 1152 W
이 지점에서 효율은 50 %에 불과하므로 실제 전동기는 절반 속도보다 훨씬 높은 속도에서 운전합니다.
5.교류 전력과 역률
답: Q = 24.79 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.85) = 31.79°, tan φ = 0.6197
무효 전력
Q = P·tan φ = 40·0.6197 = 24.79 kvar
답
Q = 24.79 kvar
6.교류 전력과 역률
답: QC = 6.642 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 25·tan(36.87°) = 18.75 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 25·tan(25.84°) = 12.11 kvar
QC = Q1 − Q2 = 6.642 kvar
답
QC = 6.642 kvar
7.3상 전력
답: IL = 73.12 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 37/0.88 = 42.05 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 42045/(√3·415·0.8) = 73.12 A
답
IL = 73.12 A
8.3상 전력
답: Cph = 611.5 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.