220 V 직류 전동기의 전기자 저항이 0.4 Ω입니다. 기동 전류를 15 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.
V = 220 VRa = 0.4 ΩImax = 15 A
Rst = Ω
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 230 V 전원에서 지상 역률 0.7로 34 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 34 kWpf = 0.7V = 230 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
150 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.6의 76 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 150 kVAP1 = 76 kWpf1 = 0.6
ΔP = kW
7.3상 전력보통
상당 임피던스가 12 + j9 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 208 VZ = 12 + j9 Ω 상당
P = kW
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 400 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 50 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 QC을(를) kvar 단위로 구하시오.
P = 50 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
QC = kvar
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: L = 375 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 7.5/15 = 0.5
인덕턴스
L = 7.5·0.5/(0.5·20·10³) = 375 µH
답
L = 375 µH
2.DC-DC 컨버터
답: ΔVo = 35.8 mV
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 8.4/12 = 0.7
인덕터 리플 전류
ΔIL = (12 − 8.4)·0.7/(100·10⁻⁶·20·10³) = 1.26 A
출력 리플
ΔVo = 1.26/(8·20·10³·220·10⁻⁶) = 35.8 mV
답
ΔVo = 35.8 mV
3.직류 전동기
답: T = 15.92 N·m
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
rad/s 단위의 속도
ω = 2π·1800/60 = 188.5 rad/s
토크
T = P/ω = 3000/188.5 = 15.92 N·m
답
T = 15.92 N·m
4.직류 전동기
답: Rst = 14.27 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전체 저항
Ra + Rst = 220/15 = 14.67 Ω
기동 저항기
Rst = 14.67 − 0.4 = 14.27 Ω
답
Rst = 14.27 Ω
전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.
5.교류 전력과 역률
답: Q = 34.69 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02
무효 전력
Q = P·tan φ = 34·1.02 = 34.69 kvar
답
Q = 34.69 kvar
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 34.6 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 76·tan(arccos 0.6) = 101.3 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(150² − 101.3²) = 110.6 kW
추가 유효 전력
ΔP = 110.6 − 76 = 34.6 kW
답
ΔP = 34.6 kW
7.3상 전력
답: P = 2.307 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = 208/√3 = 120.1 V
상전류
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 120.1/15 = 8.006 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·8.006²·12 = 2.307 kW
답
P = 2.307 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.8이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
8.3상 전력
답: QC = 33.94 kvar
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.