유도성 부하가 230 V(실효값) 단상 전원에서 5.5 A와 886 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.
V = 230 VI = 5.5 AP = 886 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
24 V(실효값), 50 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 8 + j30 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 부하에 전달할 수 있는 최대 유효 전력 Pmax을(를) 구하시오.
Vs = 24 V (rms)f = 50 HzZs = 8 + j30 Ω
Pmax = W
7.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 55 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 95%, 역률은 0.84(지상)이다. 전원의 선간 전압은 400 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 55 kWη = 95%cos φ = 0.84VL = 400 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 60 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 60 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: L = 54 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 5.4/9 = 0.6
인덕턴스
L = 3.6·0.6/(0.2·200·10³) = 54 µH
답
L = 54 µH
2.DC-DC 컨버터
답: Lcrit = 31.25 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 108/(36 + 108) = 0.75
경계 조건
평균 인덕터 전류를 리플 전류의 절반과 같게 놓고 L에 대해 푸세요.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
임계 인덕턴스
Lcrit = (1 − 0.75)²·25/(225·10³) = 31.25 µH
답
Lcrit = 31.25 µH
3.직류 전동기
답: n = 2154 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 12/1 = 12 A
역기전력과 속도
E = 240 − 12·1.2 = 225.6 V
ω = E/k = 225.6 rad/s → n = 2154 rpm
답
n = 2154 rpm
4.직류 전동기
답: Rs = 6.861 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전류와 역기전력
Ia = 9/1.5 = 6 A
E = 1.5·41.89 = 62.83 V
직렬 저항
Ra + Rs = (110 − 62.83)/6 = 7.861 Ω
Rs = 6.861 Ω
답
Rs = 6.861 Ω
저항기는 247 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
5.교류 전력과 역률
답: X = 29.85 Ω
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
유효 전력에서 구한 저항
R = P/I² = 886/5.5² = 29.29 Ω
임피던스에서 구한 리액턴스
|Z| = V/I = 230/5.5 = 41.82 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(41.82² − 29.29²) = 29.85 Ω
답
X = 29.85 Ω
6.교류 전력과 역률
답: Pmax = 18 W
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
켤레 정합
부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.
ZL = Zs* = 8 − j30 Ω
최대 전력
I = Vs/(2Rs) = 24/16 = 1.5 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 24²/(4·8) = 18 W
답
Pmax = 18 W
7.3상 전력
답: IL = 99.48 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 55/0.95 = 57.89 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 57895/(√3·400·0.84) = 99.48 A
답
IL = 99.48 A
8.3상 전력
답: Cph = 59.71 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.