스위치가 켜져 있는 동안의 인덕터 전압을 구한 뒤 ΔIL = VL·D/(L·f)를 쓰세요.
출력 리플은 커패시터로 들어가고 나오는 전하를 구하고, CCM 경계는 평균 인덕터 전류를 ΔIL/2와 같게 놓으세요.
직류 전동기
전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc
방법
전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
교류 전력과 역률
유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
3상 전력
Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η
2연습 문제
1.DC-DC 컨버터보통
이상적인 강압 컨버터가 스위칭 주파수 500 kHz에서 12 V를 3.6 V로 바꿉니다. 인덕터 리플 전류의 피크 투 피크 값을 2 A로 유지하는 인덕턴스 L을(를) 구하시오.
Vin = 12 VVo = 3.6 Vf = 500 kHzΔIL = 2 A
L = µH
2.DC-DC 컨버터어려움
이상적인 벅-부스트 컨버터가 40 kHz에서 4 Ω 부하에 대해 12 V를 −18 V로 바꿉니다. 출력 커패시터는 10 µF입니다. 출력 전압 리플의 피크 투 피크 값 ΔVo을(를) mV 단위로 구하시오.
Vin = 12 VVo = −18 Vf = 40 kHzC = 10 µFR = 4 Ω
ΔVo = mV
3.직류 전동기보통
k = 0.6 N·m/A, Ra = 0.25 Ω인 직류 전동기를 240 V에 연결했습니다. 속도가 0일 때의 토크인 정지 토크 Tstall을(를) 구하시오.
V = 240 Vk = 0.6 N·m/ARa = 0.25 Ω
Tstall = N·m
4.직류 전동기어려움
110 V 직류 전동기의 전기자 저항이 0.2 Ω입니다. 기동 전류를 50 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.
V = 110 VRa = 0.2 ΩImax = 50 A
Rst = Ω
5.교류 전력과 역률보통
유도성 부하가 120 V(실효값) 단상 전원에서 5 A와 420 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.
V = 120 VI = 5 AP = 420 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
100 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.7의 52 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 100 kVAP1 = 52 kWpf1 = 0.7
ΔP = kW
7.3상 전력보통
상당 임피던스가 18 + j24 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 208 VZ = 18 + j24 Ω 상당
P = kW
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 400 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 75 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.98VL = 400 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: L = 2.52 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 3.6/12 = 0.3
인덕턴스
L = 8.4·0.3/(2·500·10³) = 2.52 µH
답
L = 2.52 µH
2.DC-DC 컨버터
답: ΔVo = 6750 mV
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 18/(12 + 18) = 0.6
부하 전류
Io = 18/4 = 4.5 A
출력 리플
ΔVo = 4.5·0.6/(40·10³·10·10⁻⁶) = 6750 mV
답
ΔVo = 6750 mV
3.직류 전동기
답: Tstall = 576 N·m
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
정지 전류
Ia = V/Ra = 240/0.25 = 960 A
정지 토크
Tstall = 0.6·960 = 576 N·m
답
Tstall = 576 N·m
4.직류 전동기
답: Rst = 2 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전체 저항
Ra + Rst = 110/50 = 2.2 Ω
기동 저항기
Rst = 2.2 − 0.2 = 2 Ω
답
Rst = 2 Ω
전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.
5.교류 전력과 역률
답: X = 17.14 Ω
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
유효 전력에서 구한 저항
R = P/I² = 420/5² = 16.8 Ω
임피던스에서 구한 리액턴스
|Z| = V/I = 120/5 = 24 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(24² − 16.8²) = 17.14 Ω
답
X = 17.14 Ω
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 32.77 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 52·tan(arccos 0.7) = 53.05 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(100² − 53.05²) = 84.77 kW
추가 유효 전력
ΔP = 84.77 − 52 = 32.77 kW
답
ΔP = 32.77 kW
7.3상 전력
답: P = 0.8653 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = 208/√3 = 120.1 V
상전류
|Z| = √(18² + 24²) = 30 Ω
Iph = 120.1/30 = 4.003 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·4.003²·18 = 0.8653 kW
답
P = 0.8653 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
8.3상 전력
답: Cph = 816.1 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.