직류 전동기(k = 0.75 N·m/A, Ra = 0.8 Ω)가 110 V에서 동작하며 부하 토크 4.5 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 110 Vk = 0.75 N·m/ARa = 0.8 ΩT = 4.5 N·m
n = rpm
4.직류 전동기어려움
240 V 직류 전동기의 전기자 저항이 0.2 Ω입니다. 기동 전류를 50 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.
V = 240 VRa = 0.2 ΩImax = 50 A
Rst = Ω
5.교류 전력과 역률보통
두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.75의 6 kW 부하와 지상 역률 0.85의 14 kW 부하. 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.
V = 400 VP1 = 6 kW, pf1 = 0.75 지상P2 = 14 kW, pf2 = 0.85 지상
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
15 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.85의 8 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 15 kVAP1 = 8 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.3상 전력보통
상당 임피던스가 6 + j8 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 208 VZ = 6 + j8 Ω 상당
P = kW
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.92(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.92VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: ΔIL = 0.7273 A
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 1 − 24/48 = 0.5
켜짐 시간 동안의 인덕터 전압
S가 켜져 있는 동안 인덕터는 Vin에 바로 걸립니다.
VL = 24 V
리플 전류
ΔIL = VL·D/(L·f) = 24·0.5/(330·10⁻⁶·50·10³) = 0.7273 A
답
ΔIL = 0.7273 A
2.DC-DC 컨버터
답: C = 12.78 µF
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 9/36 = 0.25
인덕터 리플 전류
ΔIL = (36 − 9)·0.25/(330·10⁻⁶·100·10³) = 0.2045 A
정전 용량
C = 0.2045/(8·100·10³·20·10⁻³) = 12.78 µF
답
C = 12.78 µF
3.직류 전동기
답: n = 1339 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 4.5/0.75 = 6 A
역기전력과 속도
E = 110 − 6·0.8 = 105.2 V
ω = E/k = 140.3 rad/s → n = 1339 rpm
답
n = 1339 rpm
4.직류 전동기
답: Rst = 4.6 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전체 저항
Ra + Rst = 240/50 = 4.8 Ω
기동 저항기
Rst = 4.8 − 0.2 = 4.6 Ω
답
Rst = 4.6 Ω
전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.
5.교류 전력과 역률
답: I = 60.99 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
각 부하의 무효 전력
지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).
Q1 = 6·tan(arccos 0.75) = 5.292 kvar
Q2 = 14·tan(arccos 0.85) = 8.676 kvar
합계
P = 6 + 14 = 20 kW
Q = 5.292 + 8.676 = 13.97 kvar
S = √(20² + 13.97²) = 24.39 kVA
전체 전류
I = S/V = 24395/400 = 60.99 A
답
I = 60.99 A
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 6.157 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 8·tan(arccos 0.85) = 4.958 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(15² − 4.958²) = 14.16 kW
추가 유효 전력
ΔP = 14.16 − 8 = 6.157 kW
답
ΔP = 6.157 kW
7.3상 전력
답: P = 7.788 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = VL = 208 V
상전류
|Z| = √(6² + 8²) = 10 Ω
Iph = 208/10 = 20.8 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·20.8²·6 = 7.788 kW
답
P = 7.788 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
8.3상 전력
답: Cph = 1685 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.