유도성 부하가 120 V(실효값) 단상 전원에서 17 A와 1020 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.
V = 120 VI = 17 AP = 1020 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.65로 3 kW를 소비한다. 150 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.
P = 3 kWpf1 = 0.65V = 230 Vf = 60 HzC = 150 µF
cos φ =
7.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 15 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 88%, 역률은 0.9(지상)이다. 전원의 선간 전압은 690 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 15 kWη = 88%cos φ = 0.9VL = 690 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 60 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 60 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: Imax = 0.3709 A
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 4.8/12 = 0.4
평균 전류와 리플 전류
Io = 4.8/20 = 0.24 A
ΔIL = VL·D/(L·f) = 7.2·0.4/(22·10⁻⁶·500·10³) = 0.2618 A
최대 전류
Imax = 0.24 + 0.2618/2 = 0.3709 A
답
Imax = 0.3709 A
2.DC-DC 컨버터
답: Lcrit = 11.25 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 56/(24 + 56) = 0.7
경계 조건
평균 인덕터 전류를 리플 전류의 절반과 같게 놓고 L에 대해 푸세요.
Lcrit = (1 − D)²·R/(2f)
임계 인덕턴스
Lcrit = (1 − 0.7)²·25/(2100·10³) = 11.25 µH
답
Lcrit = 11.25 µH
3.직류 전동기
답: η = 89.69 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전력
Pin = 24·8 = 192 W
Pdev = 22.4·8 = 179.2 W
Pout = 179.2 − 7 = 172.2 W
효율
η = 172.2/192·100 = 89.69 %
답
η = 89.69 %
4.직류 전동기
답: Rs = 7.658 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전류와 역기전력
Ia = 0.24/0.12 = 2 A
E = 0.12·52.36 = 6.283 V
직렬 저항
Ra + Rs = (24 − 6.283)/2 = 8.858 Ω
Rs = 7.658 Ω
답
Rs = 7.658 Ω
저항기는 30.63 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
5.교류 전력과 역률
답: X = 6.113 Ω
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
유효 전력에서 구한 저항
R = P/I² = 1020/17² = 3.529 Ω
임피던스에서 구한 리액턴스
|Z| = V/I = 120/17 = 7.059 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(7.059² − 3.529²) = 6.113 Ω
답
X = 6.113 Ω
6.교류 전력과 역률
답: cos φ = 0.9855
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = 3·tan(arccos 0.65) = 3.507 kvar
QC = V²·2πf·C = 230²·2π·60·150·10⁻⁶ = 2991 var = 2.991 kvar
Q2 = 3.507 − 2.991 = 0.516 kvar
새 피상 전력
S2 = √(3² + 0.516²) = 3.044 kVA
새 역률
cos φ = P/S2 = 3/3.044 = 0.9855
답
cos φ = 0.9855
7.3상 전력
답: IL = 15.85 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 15/0.88 = 17.05 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 17045/(√3·690·0.9) = 15.85 A
답
IL = 15.85 A
8.3상 전력
답: Cph = 193.5 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.