전력전자와 구동: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 8개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

DC-DC 컨버터

강압(벅): V_o = D·V_in
승압(부스트): V_o = V_in/(1 − D)
반전 벅-부스트: |V_o| = V_in·D/(1 − D)
이상적인 전력 평형: V_inI_in = V_oI_o
인덕터 리플: ΔI_L = V_L,on·D/(L·f); buck V_in − V_o, boost and buck-boost V_in
평균 인덕터 전류: 강압 I_o; 승압과 벅-부스트 I_o/(1 − D)
출력 리플: 강압 ΔI_L/(8fC); 승압과 벅-부스트 I_o·D/(fC)
CCM 경계: 강압 (1 − D)R/(2f); 승압 D(1 − D)²R/(2f); 벅-부스트 (1 − D)²R/(2f)

방법

컨버터(강압, 승압, 벅-부스트)를 식별하고 전압비로부터 듀티비 D를 구하세요.
인덕터의 볼트-초 평형을 쓰세요. 한 주기 동안 인덕터 평균 전압은 0입니다.
스위치가 켜져 있는 동안의 인덕터 전압을 구한 뒤 ΔI_L = V_L·D/(L·f)를 쓰세요.
출력 리플은 커패시터로 들어가고 나오는 전하를 구하고, CCM 경계는 평균 인덕터 전류를 ΔI_L/2와 같게 놓으세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

2연습 문제

1.DC-DC 컨버터보통

이상적인 반전 벅-부스트 컨버터가 200 kHz, L = 68 µH에서 12 V를 −18 V로 바꿉니다. 인덕터 리플 전류의 피크 투 피크 값 ΔI_L을(를) 구하시오.

Vin = 12 VVo = −18 Vf = 200 kHzL = 68 µH

ΔI_L = A

2.DC-DC 컨버터어려움

강압 컨버터가 100 kHz에서 2 Ω 부하에 대해 15 V를 9 V로 바꾸며, L = 47 µH, C = 220 µF입니다. 출력 전압 리플의 피크 투 피크 값 ΔV_o을(를) mV 단위로 구하시오.

Vin = 15 VVo = 9 Vf = 100 kHzL = 47 µHC = 220 µF

ΔV_o = mV

3.직류 전동기보통

직류 전동기(k = 1.2 N·m/A, R_a = 2 Ω)가 120 V에서 동작하며 부하 토크 4.8 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 120 Vk = 1.2 N·m/AR_a = 2 ΩT = 4.8 N·m

n = rpm

4.직류 전동기어려움

k = 0.12 V·s/rad, R_a = 0.4 Ω인 직류 전동기가 300 rpm에서 0.72 N·m의 부하를 구동해야 합니다. 필요한 전기자 전압 V을(를) 구하시오.

k = 0.12 V·s/radR_a = 0.4 ΩT = 0.72 N·mn = 300 rpm

V = V

5.교류 전력과 역률보통

임피던스 Z = 12 + j16 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 240 VZ = 12 + j16 Ω

P = W

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 5 kW를 소비한다. 33 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 새 선전류 I을(를) 구하시오.

P = 5 kWpf₁ = 0.75V = 240 Vf = 50 HzC = 33 µF

I = A

7.3상 전력보통

평형 3상 부하가 선간 전압 690 V의 전원에서 선전류 150 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.88(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 690 VI_L = 150 Acos φ = 0.88

P = kW

8.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 60 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 60 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.95V_L = 480 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3용액

1.DC-DC 컨버터

답: ΔI_L = 0.5294 A

DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) V_o = D·V_in, 승압(부스트) V_o = V_in/(1 − D), 반전 벅-부스트 |V_o| = V_in·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: V_in·I_in = V_o·I_o. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔI_L = V_L·D·T/L만큼 증가하며, V_L은 강압에서는 V_in − V_o, 승압과 벅-부스트에서는 V_in입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔV_o = ΔI_L/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 I_o·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔI_L/2와 같을 때입니다.

듀티비

D = 18/(12 + 18) = 0.6

켜짐 시간 동안의 인덕터 전압

S가 켜져 있는 동안 인덕터는 V_in에 바로 걸립니다.

V_L = 12 V

리플 전류

ΔI_L = V_L·D/(L·f) = 12·0.6/(68·10⁻⁶·200·10³) = 0.5294 A

답

ΔI_L = 0.5294 A

2.DC-DC 컨버터

답: ΔV_o = 4.352 mV

듀티비

D = 9/15 = 0.6

인덕터 리플 전류

ΔI_L = (15 − 9)·0.6/(47·10⁻⁶·100·10³) = 0.766 A

출력 리플

ΔV_o = 0.766/(8·100·10³·220·10⁻⁶) = 4.352 mV

답

ΔV_o = 4.352 mV

3.직류 전동기

답: n = 891.3 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

전기자 전류

I_a = T/k = 4.8/1.2 = 4 A

역기전력과 속도

E = 120 − 4·2 = 112 V

ω = E/k = 93.33 rad/s → n = 891.3 rpm

답

n = 891.3 rpm

4.직류 전동기

답: V = 6.17 V

역기전력

E = 0.12·31.42 = 3.77 V

전기자 전류

I_a = 0.72/0.12 = 6 A

전기자 전압

V = 3.77 + 6·0.4 = 6.17 V

답

V = 6.17 V

5.교류 전력과 역률

답: P = 1728 W

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω

I = V/|Z| = 240/20 = 12 A

유효 전력

P = I²·R = 12²·12 = 1728 W

답

P = 1728 W

6.교류 전력과 역률

답: I = 26.2 A

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = 5·tan(arccos 0.75) = 4.41 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·33·10⁻⁶ = 597.2 var = 0.5972 kvar

Q₂ = 4.41 − 0.5972 = 3.812 kvar

새 피상 전력

S₂ = √(5² + 3.812²) = 6.288 kVA

새 선전류

I = S₂/V = 6288/240 = 26.2 A

답

I = 26.2 A

7.3상 전력

답: P = 157.8 kW

피상 전력

S = √3·V_L·I_L = √3·690·150 = 179.3 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 179.3·0.88 = 157.8 kW

답

P = 157.8 kW

8.3상 전력

답: C_ph = 116.4 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 60·tan(acos 0.8) = 60·0.75 = 45 kvar

Q₂ = 60·tan(acos 0.95) = 60·0.3287 = 19.72 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 25.28 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 8426/(314.2·480²) = 116.4 µF

답

C_ph = 116.4 µF

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