단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.7로 34 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 34 kWpf = 0.7V = 400 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 400 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 7 kW를 소비한다. 22 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 새 선전류 I을(를) 구하시오.
P = 7 kWpf1 = 0.6V = 400 Vf = 50 HzC = 22 µF
I = A
7.3상 전력보통
평형 3상 부하가 선간 전압 400 V의 전원에서 선전류 20 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.7(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 400 VIL = 20 Acos φ = 0.7
P = kW
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 120 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 120 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: ΔIL = 0.24 A
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 1 − 36/72 = 0.5
켜짐 시간 동안의 인덕터 전압
S가 켜져 있는 동안 인덕터는 Vin에 바로 걸립니다.
VL = 36 V
리플 전류
ΔIL = VL·D/(L·f) = 36·0.5/(150·10⁻⁶·500·10³) = 0.24 A
답
ΔIL = 0.24 A
2.DC-DC 컨버터
답: ΔVo = 47.73 mV
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 7.2/24 = 0.3
인덕터 리플 전류
ΔIL = (24 − 7.2)·0.3/(330·10⁻⁶·20·10³) = 0.7636 A
출력 리플
ΔVo = 0.7636/(8·20·10³·100·10⁻⁶) = 47.73 mV
답
ΔVo = 47.73 mV
3.직류 전동기
답: n0 = 3056 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
무부하 속도
ω₀ = V/k = 48/0.15 = 320 rad/s
n0 = 60·320/(2π) = 3056 rpm
답
n0 = 3056 rpm
4.직류 전동기
답: Rs = 19.72 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전류와 역기전력
Ia = 9.6/1.2 = 8 A
E = 1.2·41.89 = 50.27 V
직렬 저항
Ra + Rs = (220 − 50.27)/8 = 21.22 Ω
Rs = 19.72 Ω
답
Rs = 19.72 Ω
저항기는 1262 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
5.교류 전력과 역률
답: Q = 34.69 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02
무효 전력
Q = P·tan φ = 34·1.02 = 34.69 kvar
답
Q = 34.69 kvar
6.교류 전력과 역률
답: I = 27.01 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = 7·tan(arccos 0.6) = 9.333 kvar
QC = V²·2πf·C = 400²·2π·50·22·10⁻⁶ = 1106 var = 1.106 kvar
Q2 = 9.333 − 1.106 = 8.227 kvar
새 피상 전력
S2 = √(7² + 8.227²) = 10.8 kVA
새 선전류
I = S2/V = 10802/400 = 27.01 A
답
I = 27.01 A
7.3상 전력
답: P = 9.699 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
피상 전력
S = √3·VL·IL = √3·400·20 = 13.86 kVA
유효 전력
P = S·cos φ = 13.86·0.7 = 9.699 kW
답
P = 9.699 kW
8.3상 전력
답: Cph = 305.7 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.