단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.8로 22 kW를 소비한다. 100 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 새 선전류 I을(를) 구하시오.
P = 22 kWpf1 = 0.8V = 240 Vf = 50 HzC = 100 µF
I = A
7.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 18.5 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 94%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 690 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 18.5 kWη = 94%cos φ = 0.88VL = 690 V
IL = A
8.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 60 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 60 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3용액
1.DC-DC 컨버터
답: L = 38.4 µH
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 4.8/12 = 0.4
인덕턴스
L = 7.2·0.4/(0.3·250·10³) = 38.4 µH
답
L = 38.4 µH
2.DC-DC 컨버터
답: ΔVo = 654.5 mV
DC-DC 컨버터: 스위치 S는 매 주기 T = 1/f 중 D의 비율 동안 켜집니다. 정상상태에서 인덕터의 평균 전압은 0이며(볼트-초 평형), 이로부터 연속 전도 모드에서의 이상적인 변환비가 나옵니다. 강압(벅) Vo = D·Vin, 승압(부스트) Vo = Vin/(1 − D), 반전 벅-부스트 |Vo| = Vin·D/(1 − D)입니다. 이상적인 컨버터는 전력을 보존합니다: Vin·Iin = Vo·Io. S가 켜져 있는 동안 인덕터 전류는 ΔIL = VL·D·T/L만큼 증가하며, VL은 강압에서는 Vin − Vo, 승압과 벅-부스트에서는 Vin입니다. 출력 리플은 강압에서 ΔVo = ΔIL/(8fC), 승압과 벅-부스트에서 Io·D/(fC)입니다. 인덕터 전류가 겨우 0에 닿는 경우(CCM 경계)는 평균 인덕터 전류가 ΔIL/2와 같을 때입니다.
듀티비
D = 1 − 36/72 = 0.5
부하 전류
Io = 72/5 = 14.4 A
출력 리플
ΔVo = 14.4·0.5/(500·10³·22·10⁻⁶) = 654.5 mV
답
ΔVo = 654.5 mV
3.직류 전동기
답: n = 716.2 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 1.2/0.6 = 2 A
역기전력과 속도
E = 48 − 2·1.5 = 45 V
ω = E/k = 75 rad/s → n = 716.2 rpm
답
n = 716.2 rpm
4.직류 전동기
답: Pmax = 48 W
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
역기전력의 함수로 나타낸 전력
P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V
최대 전력
Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 24²/(4·3) = 48 W
답
Pmax = 48 W
이 지점에서 효율은 50 %에 불과하므로 실제 전동기는 절반 속도보다 훨씬 높은 속도에서 운전합니다.
5.교류 전력과 역률
답: cos φ = 0.8985
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
각 부하의 무효 전력
지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).
Q1 = 27·tan(arccos 0.75) = 23.81 kvar
Q2 = −13·tan(arccos 0.95) = −4.273 kvar
합계
P = 27 + 13 = 40 kW
Q = 23.81 + (−4.273) = 19.54 kvar
S = √(40² + 19.54²) = 44.52 kVA
전체 역률
cos φ = P/S = 40/44.52 = 0.8985 지상
답
cos φ = 0.8985
6.교류 전력과 역률
답: I = 110.2 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = 22·tan(arccos 0.8) = 16.5 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·100·10⁻⁶ = 1810 var = 1.81 kvar
Q2 = 16.5 − 1.81 = 14.69 kvar
새 피상 전력
S2 = √(22² + 14.69²) = 26.45 kVA
새 선전류
I = S2/V = 26454/240 = 110.2 A
답
I = 110.2 A
7.3상 전력
답: IL = 18.71 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 18.5/0.94 = 19.68 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 19681/(√3·690·0.88) = 18.71 A
답
IL = 18.71 A
8.3상 전력
답: Cph = 272.3 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.