전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

평형 3상 부하가 선간 전압 415 V의 전원에서 선전류 10 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.75(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 415 VI_L = 10 Acos φ = 0.75

P = kW

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 200 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.9V_L = 415 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.변압기보통

권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 1차 권선에 2300 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 8 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I₁을(를) 구하시오.

N₁:N₂ = 10:1V₁ = 2300 VR_L = 8 Ω

I₁ = A

4.변압기어려움

단상 25 kVA 변압기의 철손은 200 W이고 정격 부하에서의 동손은 800 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 S_η,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 25 kVAP_core = 200 WP_cu,fl = 800 W

S_η,max = kVA

5.교류 전력과 역률보통

두 부하가 240 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.6의 5 kW 부하와 3 kW 히터(역률 1). 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.

V = 240 VP₁ = 5 kW, pf₁ = 0.6 지상P₂ = 3 kW, pf₂ = 1

I = A

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 15 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.92(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 Q_C을(를) 구하시오.

P = 15 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.92V = 240 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

7.교류 임피던스와 페이저보통

L = 20 mH인 직렬 RLC 회로가 500 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f₀ = 500 HzL = 20 mH

C = µF

8.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 2 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 20 mHC = 0.22 µF

V_L = V

9.직류 전동기보통

직류 전동기가 1000 rpm에서 2.2 kW의 기계적 출력을 냅니다. 축 토크 T을(를) 구하시오.

P = 2.2 kWn = 1000 rpm

T = N·m

10.직류 전동기어려움

소형 직류 전동기의 전기자 저항이 0.5 Ω이고 24 V에서 동작합니다. 회전 손실을 무시하고, 어떤 속도에서든 낼 수 있는 최대 기계적 출력 P_max을(를) 구하시오.

V = 24 VR_a = 0.5 Ω

P_max = W

3용액

1.3상 전력

답: P = 5.391 kW

피상 전력

S = √3·V_L·I_L = √3·415·10 = 7.188 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 7.188·0.75 = 5.391 kW

답

P = 5.391 kW

2.3상 전력

답: C_ph = 982.1 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 200·tan(acos 0.8) = 200·0.75 = 150 kvar

Q₂ = 200·tan(acos 0.9) = 200·0.4843 = 96.86 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 53.14 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 17712/(314.2·239.6²) = 982.1 µF

답

C_ph = 982.1 µF

3.변압기

답: I₁ = 2.875 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V₂ = 2300/10 = 230 V

I₂ = 230/8 = 28.75 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/10 = 2.875 A

답

I₁ = 2.875 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·R_L = 800 Ω이고, 2300/800도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: S_η,max = 12.5 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·800 = 200 → x = √(200/800) = 0.5

최대 효율에서의 부하

S_η,max = x·S = 0.5·25 = 12.5 kVA

답

S_η,max = 12.5 kVA

5.교류 전력과 역률

답: I = 43.39 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q₁ = 5·tan(arccos 0.6) = 6.667 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

합계

P = 5 + 3 = 8 kW

Q = 6.667 + 0 = 6.667 kvar

S = √(8² + 6.667²) = 10.41 kVA

전체 전류

I = S/V = 10414/240 = 43.39 A

답

I = 43.39 A

6.교류 전력과 역률

답: Q_C = 8.913 kvar

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = P·tan φ₁ = 15·tan(45.57°) = 15.3 kvar

Q₂ = P·tan φ₂ = 15·tan(23.07°) = 6.39 kvar

Q_C = Q₁ − Q₂ = 8.913 kvar

답

Q_C = 8.913 kvar

7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 5.066 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·500 = 3142 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(3142²·0.02) = 5.066 µF

답

C = 5.066 µF

8.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 40.2 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·0.22·10⁻⁶) = 15076 rad/s

I = V/R = 2/15 = 0.1333 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 15076·0.02 = 301.5 Ω

V_L = I·X_L = 0.1333·301.5 = 40.2 V

답

V_L = 40.2 V

이는 전원 전압의 Q = 20.1배입니다.

9.직류 전동기

답: T = 21.01 N·m

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

rad/s 단위의 속도

ω = 2π·1000/60 = 104.7 rad/s

토크

T = P/ω = 2200/104.7 = 21.01 N·m

답

T = 21.01 N·m

10.직류 전동기

답: P_max = 288 W

역기전력의 함수로 나타낸 전력

P(E) = E·(V − E)/R_a

dP/dE = 0 → E = V/2 = 12 V

최대 전력

P_max = (V/2)²/R_a = V²/(4R_a) = 24²/(4·0.5) = 288 W

답

P_max = 288 W

이 지점에서 효율은 50 %에 불과하므로 실제 전동기는 절반 속도보다 훨씬 높은 속도에서 운전합니다.

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