전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

상당 임피던스가 5 + j12 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 480 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 480 VZ = 5 + j12 Ω 상당

P = kW

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 400 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 250 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 250 kWpf₁ = 0.78pf₂ = 0.9V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.변압기보통

권수비 N₁:N₂ = 20:1인 이상 변압기의 1차 권선에 2400 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 48 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I₁을(를) 구하시오.

N₁:N₂ = 20:1V₁ = 2400 VR_L = 48 Ω

I₁ = A

4.변압기어려움

단상 150 kVA 변압기의 철손은 900 W이고 정격 부하에서의 동손은 1800 W이다. 이 변압기가 정격 kVA의 75%를 역률 0.8(지상)로 공급한다. 이 부하에서의 전체 손실 P_loss을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 150 kVAP_core = 900 WP_cu,fl = 1800 Wx = 0.75pf = 0.8

P_loss = W

5.교류 전력과 역률보통

단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.7로 24 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

P = 24 kWpf = 0.7V = 400 V

Q = kvar

6.교류 전력과 역률어려움

12 V(실효값), 1000 Hz 전원의 내부 임피던스는 Z_s = 4 + j10 Ω이다. 부하 임피던스 Z_L은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

V_s = 12 V (rms)f = 1000 HzZ_s = 4 + j10 Ω

C = µF

7.교류 임피던스와 페이저보통

L = 200 mH인 직렬 RLC 회로가 60 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f₀ = 60 HzL = 200 mH

C = µF

8.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 50 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 50 HzR = 40 ΩL = 200 mHC = 4.7 µF

I = A

9.직류 전동기보통

k = 1.2 V·s/rad인 직류 전동기가 220 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n₀을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 220 Vk = 1.2 V·s/rad

n₀ = rpm

10.직류 전동기어려움

240 V에 연결된 타여자 직류 전동기(R_a = 1 Ω)가 전기자 전류 30 A에서 1000 rpm으로 회전합니다. 부하가 바뀌어 전류가 15 A가 되며 계자는 그대로입니다. 새 속도 n₂을(를) 구하시오.

V = 240 VR_a = 1 Ωn₁ = 1000 rpmI_a1 = 30 AI_a2 = 15 A

n₂ = rpm

3용액

1.3상 전력

답: P = 20.45 kW

상전압

V_ph = V_L = 480 V

상전류

|Z| = √(5² + 12²) = 13 Ω

I_ph = 480/13 = 36.92 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·I_ph²·R = 3·36.92²·5 = 20.45 kW

답

P = 20.45 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.3846이고, √3·V_L·I_L·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

2.3상 전력

답: C_ph = 1581 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 250·tan(acos 0.78) = 250·0.8023 = 200.6 kvar

Q₂ = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 79.49 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 26497/(314.2·230.9²) = 1581 µF

답

C_ph = 1581 µF

3.변압기

답: I₁ = 0.125 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V₂ = 2400/20 = 120 V

I₂ = 120/48 = 2.5 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I₁ = I₂/20 = 0.125 A

답

I₁ = 0.125 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·R_L = 19200 Ω이고, 2400/19200도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: P_loss = 1913 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

이 부하에서의 동손

P_cu = x²·P_cu,fl = 0.5625·1800 = 1013 W

전체 손실

철손은 어떤 부하에서도 같습니다.

P_loss = 900 + 1013 = 1913 W

답

P_loss = 1913 W

이 부하에서의 효율은 η = 97.92%입니다.

5.교류 전력과 역률

답: Q = 24.48 kvar

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

위상각

φ = arccos(0.7) = 45.57°, tan φ = 1.02

무효 전력

Q = P·tan φ = 24·1.02 = 24.48 kvar

답

Q = 24.48 kvar

6.교류 전력과 역률

답: C = 15.92 µF

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

Z_L = Z_s* = 4 − j10 Ω

정전 용량

X_C = 10 Ω → C = 1/(2π·1000·10) = 15.92 µF

답

C = 15.92 µF

7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 35.18 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s

C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.2) = 35.18 µF

답

C = 35.18 µF

8.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.08121 A

리액턴스

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.2 = 62.83 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−614.4)²) = 615.7 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/615.7 = 0.08121 A

답

I = 0.08121 A

9.직류 전동기

답: n₀ = 1751 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 220/1.2 = 183.3 rad/s

n₀ = 60·183.3/(2π) = 1751 rpm

답

n₀ = 1751 rpm

10.직류 전동기

답: n₂ = 1071 rpm

변화 전후의 역기전력

E₁ = 240 − 30·1 = 210 V

E₂ = 240 − 15·1 = 225 V

새 속도

n₂ = 1000·225/210 = 1071 rpm

답

n₂ = 1071 rpm

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