전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VIL​ = 150 Acos φ = 0.75지상

평형 3상 부하가 선간 전압 415 V의 전원에서 선전류 150 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.75(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 415 VIL = 150 Acos φ = 0.75
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 75 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 75 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
RL​ = 5 Ω511150 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 5:1인 이상 변압기의 1차 권선에 1150 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 5 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 5:1V1 = 1150 VRL = 5 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
500 kVA

단상 500 kVA 변압기의 철손은 2500 W이고 정격 부하에서의 동손은 10000 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 500 kVAPcore = 2500 WPcu,fl = 10000 W
Sη,max = kVA
5.교류 전력과 역률보통
400 V128 kW, 0.75217 kW, 0.85I

두 부하가 400 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.75의 28 kW 부하와 진상 역률 0.85의 17 kW 부하. 전원에서 본 전체 역률 cos φ을(를) 구하시오.

V = 400 VP1 = 28 kW, pf1 = 0.75 지상P2 = 17 kW, pf2 = 0.85 진상
cos φ =
6.교류 전력과 역률어려움
P1​ = 33 kWQ1​S1​φ

75 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.85의 33 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?

Smax = 75 kVAP1 = 33 kWpf1 = 0.85
ΔP = kW
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 200 HzRL = ?C = 10 µF

C = 10 µF인 직렬 RLC 회로가 200 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 인덕턴스 L을(를) 구하시오.

f0 = 200 HzC = 10 µF
L = mH
8.교류 임피던스와 페이저어려움
24 V500 HzR1​ = 25 ΩR2​ = 50 ΩC = 22 µF

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 24 V(실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)f = 500 HzR1 = 25 ΩR2 = 50 ΩC = 22 µF
|Z| = Ω
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)30 N·mn0​n = ?

직류 전동기(k = 1 N·m/A, Ra = 0.4 Ω)가 220 V에서 동작하며 부하 토크 30 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 220 Vk = 1 N·m/ARa = 0.4 ΩT = 30 N·m
n = rpm
10.직류 전동기어려움
+−240 VD = ?Ra​ = 1 ΩM+−En = 1200 rpmT = 24 N·m

DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 1.2 V·s/rad, Ra = 1 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 24 N·m에서 전동기를 1200 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

Vdc = 240 Vk = 1.2 V·s/radRa = 1 ΩT = 24 N·mn = 1200 rpm
D = %

3용액

1.3상 전력

답: P = 80.87 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·415·150 = 107.8 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 107.8·0.75 = 80.87 kW

답

P = 80.87 kW
2.3상 전력

답: Cph = 484.4 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 75·tan(acos 0.65) = 75·1.169 = 87.68 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 72.46 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 24152/(314.2·398.4²) = 484.4 µF

답

Cph = 484.4 µF
3.변압기

답: I1 = 9.2 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 1150/5 = 230 V
I2 = 230/5 = 46 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/5 = 9.2 A

답

I1 = 9.2 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 125 Ω이고, 1150/125도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: Sη,max = 250 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·10000 = 2500 → x = √(2500/10000) = 0.5

최대 효율에서의 부하

Sη,max = x·S = 0.5·500 = 250 kVA

답

Sη,max = 250 kVA
5.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.9539

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q1 = 28·tan(arccos 0.75) = 24.69 kvar
Q2 = −17·tan(arccos 0.85) = −10.54 kvar

합계

P = 28 + 17 = 45 kW
Q = 24.69 + (−10.54) = 14.16 kvar
S = √(45² + 14.16²) = 47.17 kVA

전체 역률

cos φ = P/S = 45/47.17 = 0.9539 지상

답

cos φ = 0.9539
6.교류 전력과 역률

답: ΔP = 39.16 kW

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

기존 부하의 무효 전력

Q1 = 33·tan(arccos 0.85) = 20.45 kvar

최대 전체 유효 전력

정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.

P = √(Smax² − Q1²) = √(75² − 20.45²) = 72.16 kW

추가 유효 전력

ΔP = 72.16 − 33 = 39.16 kW

답

ΔP = 39.16 kW
7.교류 임피던스와 페이저

답: L = 63.33 mH

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·200 = 1257 rad/s
L = 1/(ω₀²·C) = 1/(1257²·10·10⁻⁶) = 63.33 mH

답

L = 63.33 mH
8.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 31.8 Ω

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·500·22·10⁻⁶) = 14.47 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 3.863 − j13.35 Ω

전체 임피던스

Z = 25 + 3.863 − j13.35 = 28.86 − j13.35 Ω
|Z| = √(28.86² + 13.35²) = 31.8 Ω

답

|Z| = 31.8 Ω
9.직류 전동기

답: n = 1986 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

전기자 전류

Ia = T/k = 30/1 = 30 A

역기전력과 속도

E = 220 − 30·0.4 = 208 V
ω = E/k = 208 rad/s → n = 1986 rpm

답

n = 1986 rpm
10.직류 전동기

답: D = 71.17 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

필요한 전기자 전압

Va = 1.2·125.7 + 20·1 = 170.8 V

듀티비

D = 170.8/240 = 71.17 %

답

D = 71.17 %

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