3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
평형 3상 부하가 선간 전압 415 V의 전원에서 선전류 20 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.8(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 415 VIL = 20 Acos φ = 0.8
P = kW
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 480 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 150 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 150 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9VL = 480 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
권수비 N₁:N₂ = 4:1인 이상 변압기의 1차 권선에 480 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 8 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.
N1:N2 = 4:1V1 = 480 VRL = 8 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
단상 50 kVA 변압기의 철손은 400 W이다. 정격 부하, 역률 0.85(지상)에서 효율은 96%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 50 kVAPcore = 400 Wpf = 0.85η = 96%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 240 V 전원에서 지상 역률 0.75로 31 kW를 소비한다. 전동기가 소비하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.
P = 31 kWpf = 0.75V = 240 V
Q = kvar
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.75로 30 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.95(으)로 높인다. 필요한 정전 용량 C을(를) 구하시오.
P = 30 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95V = 230 Vf = 60 Hz
C = µF
7.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 50 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
cos φ =
8.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로를 24 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 VL을(를) 구하시오.
V = 24 V (rms)R = 50 ΩL = 10 mHC = 1 µF
VL = V
9.직류 전동기보통
직류 전동기(k = 0.3 N·m/A, Ra = 1.2 Ω)가 110 V에서 동작하며 부하 토크 1.8 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 110 Vk = 0.3 N·m/ARa = 1.2 ΩT = 1.8 N·m
n = rpm
10.직류 전동기어려움
직류 전동기(k = 0.8 V·s/rad, Ra = 0.4 Ω)가 고정된 220 V 전원에서 16 N·m의 부하를 구동합니다. 속도를 750 rpm으로 낮추는 직렬 저항 Rs을(를) 구하시오.
V = 220 Vk = 0.8 V·s/radRa = 0.4 ΩT = 16 N·mn = 750 rpm
Rs = Ω
3용액
1.3상 전력
답: P = 11.5 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
피상 전력
S = √3·VL·IL = √3·415·20 = 14.38 kVA
유효 전력
P = S·cos φ = 14.38·0.8 = 11.5 kW
답
P = 11.5 kW
2.3상 전력
답: Cph = 1111 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 150·tan(acos 0.7) = 150·1.02 = 153 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.9) = 150·0.4843 = 72.65 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 80.38 kvar
상당 정전 용량
Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.
V = 480/√3 = 277.1 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 26794/(314.2·277.1²) = 1111 µF
답
Cph = 1111 µF
3.변압기
답: I1 = 3.75 A
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
2차 전압과 전류
V2 = 480/4 = 120 V
I2 = 120/8 = 15 A
1차 전류
이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/4 = 3.75 A
답
I1 = 3.75 A
확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 128 Ω이고, 480/128도 같은 전류를 줍니다.
4.변압기
답: Pcu,fl = 1371 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
출력 전력과 입력 전력
Pout = 50·0.85 = 42.5 kW
Pin = 42500/0.96 = 44271 W
전체 손실과 동손
Ploss = 44271 − 42500 = 1771 W
Pcu,fl = 1771 − 400 = 1371 W
답
Pcu,fl = 1371 W
5.교류 전력과 역률
답: Q = 27.34 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
위상각
φ = arccos(0.75) = 41.41°, tan φ = 0.8819
무효 전력
Q = P·tan φ = 31·0.8819 = 27.34 kvar
답
Q = 27.34 kvar
6.교류 전력과 역률
답: C = 832.2 µF
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 30·tan(41.41°) = 26.46 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 30·tan(18.19°) = 9.861 kvar
QC = Q1 − Q2 = 16.6 kvar
정전 용량
전원에 병렬로 연결한 커패시터는 Q = V²·ωC를 공급합니다.
C = QC/(2πf·V²) = 16597/(2π·60·230²) = 832.2 µF
답
C = 832.2 µF
7.교류 임피던스와 페이저
답: cos φ = 0.123
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 471.2 Ω, XC = 67.73 Ω
임피던스
|Z| = √(50² + (403.5)²) = 406.6 Ω
역률
cos φ = R/|Z| = 50/406.6 = 0.123
회로가 유도성이므로 역률은 지상입니다.
답
cos φ = 0.123
8.교류 임피던스와 페이저
답: VL = 48 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진
공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.
ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s
I = V/R = 24/50 = 0.48 A
인덕터 양단의 전압
XL = ω₀L = 10000·0.01 = 100 Ω
VL = I·XL = 0.48·100 = 48 V
답
VL = 48 V
이는 전원 전압의 Q = 2배입니다.
9.직류 전동기
답: n = 3272 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 1.8/0.3 = 6 A
역기전력과 속도
E = 110 − 6·1.2 = 102.8 V
ω = E/k = 342.7 rad/s → n = 3272 rpm
답
n = 3272 rpm
10.직류 전동기
답: Rs = 7.458 Ω
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전류와 역기전력
Ia = 16/0.8 = 20 A
E = 0.8·78.54 = 62.83 V
직렬 저항
Ra + Rs = (220 − 62.83)/20 = 7.858 Ω
Rs = 7.458 Ω
답
Rs = 7.458 Ω
저항기는 2983 W를 낭비합니다. 초퍼는 훨씬 적은 손실로 속도를 제어합니다.
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