전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

상당 임피던스가 7 + j24 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

V_L = 415 VZ = 7 + j24 Ω 상당

P = kW

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 50 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 50 kWpf₁ = 0.8pf₂ = 0.98V_L = 690 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.변압기보통

권수비 N₁:N₂ = 4:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 4 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R_1′을(를) 구하시오.

N₁:N₂ = 4:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.변압기어려움

단상 75 kVA 변압기의 철손은 300 W이다. 정격 부하, 역률 0.9(지상)에서 효율은 97%이다. 전부하 동손 P_cu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 75 kVAP_core = 300 Wpf = 0.9η = 97%

P_cu,fl = W

5.교류 전력과 역률보통

유도성 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에서 8 A와 1440 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. R을(를) 구하시오.

V = 240 VI = 8 AP = 1440 W

R = Ω

6.교류 전력과 역률어려움

200 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.6의 71 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?

S_max = 200 kVAP₁ = 71 kWpf₁ = 0.6

ΔP = kW

7.교류 임피던스와 페이저보통

저항과 인덕터가 230 V(실효값), 200 Hz 전원에 병렬로 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 200 HzR = 20 ΩL = 50 mH

I = A

8.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 2 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 50 mHC = 1 µF

V_L = V

9.직류 전동기보통

직류 전동기(k = 0.75 N·m/A, R_a = 1.5 Ω)가 120 V에서 동작하며 부하 토크 3.75 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 120 Vk = 0.75 N·m/AR_a = 1.5 ΩT = 3.75 N·m

n = rpm

10.직류 전동기어려움

DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 1 V·s/rad, R_a = 1.5 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 12 N·m에서 전동기를 600 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

V_dc = 240 Vk = 1 V·s/radR_a = 1.5 ΩT = 12 N·mn = 600 rpm

D = %

3용액

1.3상 전력

답: P = 1.929 kW

상전압

V_ph = 415/√3 = 239.6 V

상전류

|Z| = √(7² + 24²) = 25 Ω

I_ph = 239.6/25 = 9.584 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·I_ph²·R = 3·9.584²·7 = 1.929 kW

답

P = 1.929 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.28이고, √3·V_L·I_L·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

2.3상 전력

답: C_ph = 60.95 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0.8) = 50·0.75 = 37.5 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 27.35 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 9116/(314.2·690²) = 60.95 µF

답

C_ph = 60.95 µF

3.변압기

답: R_1′ = 64 Ω

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 저항

전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.

R_1′ = a²·R_L = 4²·4 = 64 Ω

답

R_1′ = 64 Ω

4.변압기

답: P_cu,fl = 1788 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

P_out = 75·0.9 = 67.5 kW

P_in = 67500/0.97 = 69588 W

전체 손실과 동손

P_loss = 69588 − 67500 = 2088 W

P_cu,fl = 2088 − 300 = 1788 W

답

P_cu,fl = 1788 W

5.교류 전력과 역률

답: R = 22.5 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 1440/8² = 22.5 Ω

답

R = 22.5 Ω

6.교류 전력과 역률

답: ΔP = 105.2 kW

기존 부하의 무효 전력

Q₁ = 71·tan(arccos 0.6) = 94.67 kvar

최대 전체 유효 전력

정격 전부에서 S = S_max이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(200² − 94.67²) = 176.2 kW

추가 유효 전력

ΔP = 176.2 − 71 = 105.2 kW

답

ΔP = 105.2 kW

7.교류 임피던스와 페이저

답: I = 12.07 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

X_L = ωL = 2π·200·0.05 = 62.83 Ω

가지 전류

두 가지 모두 전원에 바로 연결되어 있으므로 각각 전체 전압 V를 받습니다.

I_R = V/R = 230/20 = 11.5 A

I_X = V/X_L = 230/62.83 = 3.661 A

전체 전류

저항 전류는 V와 동상이고 리액턴스 전류는 90° 위상차가 있으므로 직각삼각형의 변처럼 더해집니다.

I = √(I_R² + I_X²) = √(11.5² + 3.661²) = 12.07 A

답

I = 12.07 A

8.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 89.44 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.05·1·10⁻⁶) = 4472 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0.4 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 4472·0.05 = 223.6 Ω

V_L = I·X_L = 0.4·223.6 = 89.44 V

답

V_L = 89.44 V

이는 전원 전압의 Q = 44.72배입니다.

9.직류 전동기

답: n = 1432 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

전기자 전류

I_a = T/k = 3.75/0.75 = 5 A

역기전력과 속도

E = 120 − 5·1.5 = 112.5 V

ω = E/k = 150 rad/s → n = 1432 rpm

답

n = 1432 rpm

10.직류 전동기

답: D = 33.68 %

필요한 전기자 전압

V_a = 1·62.83 + 12·1.5 = 80.83 V

듀티비

D = 80.83/240 = 33.68 %

답

D = 33.68 %

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