3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 30 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 92%, 역률은 0.82(지상)이다. 전원의 선간 전압은 400 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 30 kWη = 92%cos φ = 0.82VL = 400 V
IL = A
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.65(지상)로 50 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 50 kWpf1 = 0.65pf2 = 0.98VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
권수비 N₁:N₂ = 3:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 16 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R1′을(를) 구하시오.
N1:N2 = 3:1RL = 16 Ω
R1′ = Ω
4.변압기어려움
단상 100 kVA 변압기의 철손은 400 W이다. 정격 부하, 역률 0.95(지상)에서 효율은 98.2%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 100 kVAPcore = 400 Wpf = 0.95η = 98.2%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
유도성 부하가 120 V(실효값) 단상 전원에서 2.5 A와 150 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. R을(를) 구하시오.
V = 120 VI = 2.5 AP = 150 W
R = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
200 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.65의 87 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?
Smax = 200 kVAP1 = 87 kWpf1 = 0.65
ΔP = kW
7.교류 임피던스와 페이저보통
L = 100 mH인 직렬 RLC 회로가 5000 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.
f0 = 5000 HzL = 100 mH
C = µF
8.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 30 ΩL = 150 mHC = 100 µF
VC = V
9.직류 전동기보통
직류 전동기가 2000 rpm에서 15 kW의 기계적 출력을 냅니다. 축 토크 T을(를) 구하시오.
P = 15 kWn = 2000 rpm
T = N·m
10.직류 전동기어려움
220 V에 연결된 타여자 직류 전동기(Ra = 1 Ω)가 전기자 전류 20 A에서 1500 rpm으로 회전합니다. 부하가 바뀌어 전류가 8 A가 되며 계자는 그대로입니다. 새 속도 n2을(를) 구하시오.
V = 220 VRa = 1 Ωn1 = 1500 rpmIa1 = 20 AIa2 = 8 A
n2 = rpm
3용액
1.3상 전력
답: IL = 57.4 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 30/0.92 = 32.61 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 32609/(√3·400·0.82) = 57.4 A
답
IL = 57.4 A
2.3상 전력
답: Cph = 107.6 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 50·tan(acos 0.65) = 50·1.169 = 58.46 kvar
Q2 = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 48.3 kvar
상당 정전 용량
Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.
V = 690 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16101/(314.2·690²) = 107.6 µF
답
Cph = 107.6 µF
3.변압기
답: R1′ = 144 Ω
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
환산 저항
전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.
R1′ = a²·RL = 3²·16 = 144 Ω
답
R1′ = 144 Ω
4.변압기
답: Pcu,fl = 1341 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
출력 전력과 입력 전력
Pout = 100·0.95 = 95 kW
Pin = 95000/0.982 = 96741 W
전체 손실과 동손
Ploss = 96741 − 95000 = 1741 W
Pcu,fl = 1741 − 400 = 1341 W
답
Pcu,fl = 1341 W
5.교류 전력과 역률
답: R = 24 Ω
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
유효 전력에서 구한 저항
R = P/I² = 150/2.5² = 24 Ω
답
R = 24 Ω
6.교류 전력과 역률
답: ΔP = 85.2 kW
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
기존 부하의 무효 전력
Q1 = 87·tan(arccos 0.65) = 101.7 kvar
최대 전체 유효 전력
정격 전부에서 S = Smax이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.
P = √(Smax² − Q1²) = √(200² − 101.7²) = 172.2 kW
추가 유효 전력
ΔP = 172.2 − 87 = 85.2 kW
답
ΔP = 85.2 kW
7.교류 임피던스와 페이저
답: C = 0.01013 µF
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 조건
공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).
ω₀ = 2π·5000 = 31416 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(31416²·0.1) = 0.01013 µF
답
C = 0.01013 µF
8.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 0.5218 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.15 = 188.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·100·10⁻⁶) = 7.958 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (180.5)²) = 183 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 12/183 = 0.06557 A
커패시터 전압
VC = I·XC = 0.06557·7.958 = 0.5218 V
답
VC = 0.5218 V
9.직류 전동기
답: T = 71.62 N·m
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
rad/s 단위의 속도
ω = 2π·2000/60 = 209.4 rad/s
토크
T = P/ω = 15000/209.4 = 71.62 N·m
답
T = 71.62 N·m
10.직류 전동기
답: n2 = 1590 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
변화 전후의 역기전력
E1 = 220 − 20·1 = 200 V
E2 = 220 − 8·1 = 212 V
새 속도
n2 = 1500·212/200 = 1590 rpm
답
n2 = 1590 rpm
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