전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 400 VIL​ = 40 Acos φ = 0.9지상

평형 3상 부하가 선간 전압 400 V의 전원에서 선전류 40 A를 끌어 쓴다. 역률은 0.9(지상)이다. 부하가 소비하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 400 VIL = 40 Acos φ = 0.9
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 250 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 250 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 250 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
RL​ = 5 Ω21240 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 2:1인 이상 변압기의 1차 권선에 240 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 5 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 2:1V1 = 240 VRL = 5 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
pf 0.9575 kVA, η = 98.5%

단상 75 kVA 변압기의 철손은 600 W이다. 정격 부하, 역률 0.95(지상)에서 효율은 98.5%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 75 kVAPcore = 600 Wpf = 0.95η = 98.5%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
P = 36 kWQSφ

단상 전동기가 230 V 전원에서 지상 역률 0.9로 36 kW를 소비한다. 선전류 I을(를) 구하시오.

P = 36 kWpf = 0.9V = 230 V
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
100 V50 HzRs​ = 20 ΩXs​ = j5 ΩZL​ = ?

100 V(실효값), 50 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 20 + j5 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 최대 전력을 위한 부하는 저항과 커패시터의 직렬로 만든다. 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

Vs = 100 V (rms)f = 50 HzZs = 20 + j5 Ω
C = µF
7.교류 임피던스와 페이저보통
50 V100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 22 µFI

직렬 RLC 회로가 50 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 50 V (rms)f = 100 HzR = 25 ΩL = 250 mHC = 22 µF
I = A
8.교류 임피던스와 페이저어려움
120 V100 HzR1​ = 50 ΩR2​ = 40 ΩC = 100 µF

저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 120 V(실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 100 HzR1 = 50 ΩR2 = 40 ΩC = 100 µF
|Z| = Ω
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)0.32 N·mn0​nFL​

직류 전동기(k = 0.08 V·s/rad, Ra = 0.2 Ω)가 24 V에서 동작합니다. 전부하에서 4 A를 끌어 씁니다. 무부하 전류를 무시하고 속도 변동률 SR = (n₀ − nFL)/nFL을(를) 퍼센트로 구하시오.

V = 24 Vk = 0.08 V·s/radRa = 0.2 ΩIFL = 4 A
SR = %
10.직류 전동기어려움
+−48 VD = ?Ra​ = 0.8 ΩM+−En = 800 rpmT = 0.6 N·m

DC 초퍼가 48 V DC 버스에서 전동기(k = 0.3 V·s/rad, Ra = 0.8 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·48 V입니다. 부하 0.6 N·m에서 전동기를 800 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

Vdc = 48 Vk = 0.3 V·s/radRa = 0.8 ΩT = 0.6 N·mn = 800 rpm
D = %

3용액

1.3상 전력

답: P = 24.94 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

피상 전력

S = √3·VL·IL = √3·400·40 = 27.71 kVA

유효 전력

P = S·cos φ = 27.71·0.9 = 24.94 kW

답

P = 24.94 kW
2.3상 전력

답: Cph = 612.4 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 250·tan(acos 0.75) = 250·0.8819 = 220.5 kvar
Q2 = 250·tan(acos 0.9) = 250·0.4843 = 121.1 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 99.4 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 33133/(314.2·415²) = 612.4 µF

답

Cph = 612.4 µF
3.변압기

답: I1 = 12 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 240/2 = 120 V
I2 = 120/5 = 24 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/2 = 12 A

답

I1 = 12 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 20 Ω이고, 240/20도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: Pcu,fl = 485 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

Pout = 75·0.95 = 71.25 kW
Pin = 71250/0.985 = 72335 W

전체 손실과 동손

Ploss = 72335 − 71250 = 1085 W
Pcu,fl = 1085 − 600 = 485 W

답

Pcu,fl = 485 W
5.교류 전력과 역률

답: I = 173.9 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

선전류

일을 하는 것은 유효분뿐이므로 역률로 나눕니다.

I = P/(V·cos φ) = 36000/(230·0.9) = 173.9 A

답

I = 173.9 A
6.교류 전력과 역률

답: C = 636.6 µF

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 20 − j5 Ω

정전 용량

XC = 5 Ω → C = 1/(2π·50·5) = 636.6 µF

답

C = 636.6 µF
7.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.5659 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.25 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·22·10⁻⁶) = 72.34 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(25² + (84.74)²) = 88.35 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 50/88.35 = 0.5659 A

답

I = 0.5659 A
8.교류 임피던스와 페이저

답: |Z| = 57.14 Ω

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

XC = 1/(2π·100·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.

Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 5.467 − j13.74 Ω

전체 임피던스

Z = 50 + 5.467 − j13.74 = 55.47 − j13.74 Ω
|Z| = √(55.47² + 13.74²) = 57.14 Ω

답

|Z| = 57.14 Ω
9.직류 전동기

답: SR = 3.448 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도와 전부하 속도

n₀ = 60·24/(2π·0.08) = 2865 rpm
nFL = 60·(24 − 4·0.2)/(2π·0.08) = 2769 rpm

속도 변동률

SR = (2865 − 2769)/2769·100 = 3.448 %

답

SR = 3.448 %
10.직류 전동기

답: D = 55.69 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

필요한 전기자 전압

Va = 0.3·83.78 + 2·0.8 = 26.73 V

듀티비

D = 26.73/48 = 55.69 %

답

D = 55.69 %

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