전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 208 VZ = 15 + j20 Ω상당

상당 임피던스가 15 + j20 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 208 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 208 VZ = 15 + j20 Ω 상당
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 150 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 400 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.8(지상)로 150 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 150 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.95VL = 400 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
8 Ω41

권수비 N₁:N₂ = 4:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 8 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R1′을(를) 구하시오.

N1:N2 = 4:1RL = 8 Ω
R1′ = Ω
4.변압기어려움
pf 0.9250 kVA, η = 97%

단상 250 kVA 변압기의 철손은 1250 W이다. 정격 부하, 역률 0.9(지상)에서 효율은 97%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 250 kVAPcore = 1250 Wpf = 0.9η = 97%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
240 VZ12 + j9 ΩI

임피던스 Z = 12 + j9 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 무효 전력 Q을(를) 구하시오.

V = 240 VZ = 12 + j9 Ω
Q = var
6.교류 전력과 역률어려움
240 V50 Hz부하26 kW, 0.6C470 µFI = ?

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 26 kW를 소비한다. 470 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 새 선전류 I을(를) 구하시오.

P = 26 kWpf1 = 0.6V = 240 Vf = 50 HzC = 470 µF
I = A
7.교류 임피던스와 페이저보통
230 V100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µFI

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 30 ΩL = 200 mHC = 10 µF
I = A
8.교류 임피던스와 페이저어려움
VfR = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF

직렬 RLC 회로의 R = 20 Ω, L = 10 mH, C = 1 µF이다. 공진에서의 선택도 Q을(를) 구하시오.

R = 20 ΩL = 10 mHC = 1 µF
Q =
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.15 V·s/rad인 직류 전동기가 24 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 24 Vk = 0.15 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
+−48 VRa​ = 2.5 ΩM+−EωT

소형 직류 전동기의 전기자 저항이 2.5 Ω이고 48 V에서 동작합니다. 회전 손실을 무시하고, 어떤 속도에서든 낼 수 있는 최대 기계적 출력 Pmax을(를) 구하시오.

V = 48 VRa = 2.5 Ω
Pmax = W

3용액

1.3상 전력

답: P = 3.115 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = VL = 208 V

상전류

|Z| = √(15² + 20²) = 25 Ω
Iph = 208/25 = 8.32 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·8.32²·15 = 3.115 kW

답

P = 3.115 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

2.3상 전력

답: Cph = 1048 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 150·tan(acos 0.8) = 150·0.75 = 112.5 kvar
Q2 = 150·tan(acos 0.95) = 150·0.3287 = 49.3 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 63.2 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 21066/(377·230.9²) = 1048 µF

답

Cph = 1048 µF
3.변압기

답: R1′ = 128 Ω

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 저항

전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.

R1′ = a²·RL = 4²·8 = 128 Ω

답

R1′ = 128 Ω
4.변압기

답: Pcu,fl = 5709 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

Pout = 250·0.9 = 225 kW
Pin = 225000/0.97 = 231959 W

전체 손실과 동손

Ploss = 231959 − 225000 = 6959 W
Pcu,fl = 6959 − 1250 = 5709 W

답

Pcu,fl = 5709 W
5.교류 전력과 역률

답: Q = 2304 var

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 240/15 = 16 A

무효 전력

Q = I²·X = 16²·9 = 2304 var

답

Q = 2304 var
6.교류 전력과 역률

답: I = 153.7 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = 26·tan(arccos 0.6) = 34.67 kvar
QC = V²·2πf·C = 240²·2π·50·470·10⁻⁶ = 8505 var = 8.505 kvar
Q2 = 34.67 − 8.505 = 26.16 kvar

새 피상 전력

S2 = √(26² + 26.16²) = 36.88 kVA

새 선전류

I = S2/V = 36884/240 = 153.7 A

답

I = 153.7 A
7.교류 임피던스와 페이저

답: I = 5.115 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.2 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(30² + (−33.49)²) = 44.96 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 230/44.96 = 5.115 A

답

I = 5.115 A
8.교류 임피던스와 페이저

답: Q = 5

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 주파수

f0 = 1/(2π·√(0.01·1·10⁻⁶)) = 1592 Hz

선택도

Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/20)·√(0.01/(1·10⁻⁶)) = 5

답

Q = 5
9.직류 전동기

답: n0 = 1528 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 24/0.15 = 160 rad/s
n0 = 60·160/(2π) = 1528 rpm

답

n0 = 1528 rpm
10.직류 전동기

답: Pmax = 230.4 W

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

역기전력의 함수로 나타낸 전력

P(E) = E·(V − E)/Ra
dP/dE = 0 → E = V/2 = 24 V

최대 전력

Pmax = (V/2)²/Ra = V²/(4Ra) = 48²/(4·2.5) = 230.4 W

답

Pmax = 230.4 W

이 지점에서 효율은 50 %에 불과하므로 실제 전동기는 절반 속도보다 훨씬 높은 속도에서 운전합니다.

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems