전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 7.5 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 95%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 690 V이다. 선전류 I_L을(를) 구하시오.

P_out = 7.5 kWη = 95%cos φ = 0.88V_L = 690 V

I_L = A

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 400 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.7(지상)로 50 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 C_ph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 50 kWpf₁ = 0.7pf₂ = 0.98V_L = 400 Vf = 50 Hz

C_ph = µF

3.변압기보통

권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 2차 권선 양단에 4 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 권선 쪽에서 들여다본 저항 R_1′을(를) 구하시오.

N₁:N₂ = 10:1R_L = 4 Ω

R_1′ = Ω

4.변압기어려움

단상 250 kVA 변압기의 철손은 2000 W이다. 정격 부하, 역률 0.85(지상)에서 효율은 97%이다. 전부하 동손 P_cu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 250 kVAP_core = 2000 Wpf = 0.85η = 97%

P_cu,fl = W

5.교류 전력과 역률보통

두 부하가 240 V 단상 전원에 병렬로 연결되어 있다: 지상 역률 0.8의 9 kW 부하와 2 kW 히터(역률 1). 전원에서 흐르는 전체 전류 I을(를) 구하시오.

V = 240 VP₁ = 9 kW, pf₁ = 0.8 지상P₂ = 2 kW, pf₂ = 1

I = A

6.교류 전력과 역률어려움

단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 30 kW를 소비한다. 470 µF 커패시터를 부하와 병렬로 연결한다. 전원에서 본 새 역률 cos φ을(를) 구하시오.

P = 30 kWpf₁ = 0.7V = 240 Vf = 50 HzC = 470 µF

cos φ =

7.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 230 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).

V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 30 ΩL = 100 mHC = 10 µF

φ = °

8.교류 임피던스와 페이저어려움

저항 R₁이(가) R₂와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 120 V(실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 120 V (rms)f = 200 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 47 µF

I = A

9.직류 전동기보통

직류 전동기(k = 1.5 N·m/A, R_a = 2 Ω)가 120 V에서 동작하며 부하 토크 3 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 120 Vk = 1.5 N·m/AR_a = 2 ΩT = 3 N·m

n = rpm

10.직류 전동기어려움

DC 초퍼가 110 V DC 버스에서 전동기(k = 0.3 V·s/rad, R_a = 1.2 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·110 V입니다. 부하 3 N·m에서 전동기를 1000 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

V_dc = 110 Vk = 0.3 V·s/radR_a = 1.2 ΩT = 3 N·mn = 1000 rpm

D = %

3용액

1.3상 전력

답: I_L = 7.507 A

전기 입력 전력

P_in = P_out/η = 7.5/0.95 = 7.895 kW

선전류

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 7895/(√3·690·0.88) = 7.507 A

답

I_L = 7.507 A

2.3상 전력

답: C_ph = 812.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 50·tan(acos 0.7) = 50·1.02 = 51.01 kvar

Q₂ = 50·tan(acos 0.98) = 50·0.2031 = 10.15 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 40.86 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 400/√3 = 230.9 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s

C_ph = (Q_C/3)/(ω·V²) = 13619/(314.2·230.9²) = 812.8 µF

답

C_ph = 812.8 µF

3.변압기

답: R_1′ = 400 Ω

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 저항

전압은 a배 커지고 전류는 a배 작아지므로 V/I의 비는 a²배 커집니다.

R_1′ = a²·R_L = 10²·4 = 400 Ω

답

R_1′ = 400 Ω

4.변압기

답: P_cu,fl = 4572 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

출력 전력과 입력 전력

P_out = 250·0.85 = 212.5 kW

P_in = 212500/0.97 = 219072 W

전체 손실과 동손

P_loss = 219072 − 212500 = 6572 W

P_cu,fl = 6572 − 2000 = 4572 W

답

P_cu,fl = 4572 W

5.교류 전력과 역률

답: I = 53.77 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

각 부하의 무효 전력

지상 부하는 무효 전력을 소비하고(Q > 0), 진상 부하는 무효 전력을 공급합니다(Q < 0).

Q₁ = 9·tan(arccos 0.8) = 6.75 kvar

Q₂ = 0 = 0 kvar

합계

P = 9 + 2 = 11 kW

Q = 6.75 + 0 = 6.75 kvar

S = √(11² + 6.75²) = 12.91 kVA

전체 전류

I = S/V = 12906/240 = 53.77 A

답

I = 53.77 A

6.교류 전력과 역률

답: cos φ = 0.8051

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q₁ = 30·tan(arccos 0.7) = 30.61 kvar

Q_C = V²·2πf·C = 240²·2π·50·470·10⁻⁶ = 8505 var = 8.505 kvar

Q₂ = 30.61 − 8.505 = 22.1 kvar

새 피상 전력

S₂ = √(30² + 22.1²) = 37.26 kVA

새 역률

cos φ = P/S₂ = 30/37.26 = 0.8051

답

cos φ = 0.8051

7.교류 임피던스와 페이저

답: φ = 83.93 °

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.1 = 314.2 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(30² + (282.3)²) = 283.9 Ω

위상각

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(282.3/30) = 83.93°

답

φ = 83.93°

8.교류 임피던스와 페이저

답: I = 2.045 A

리액턴스

X_C = 1/(2π·200·47·10⁻⁶) = 16.93 Ω

병렬 조합

분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Z_p를 실수부와 허수부로 나누세요.

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 7.247 − j12.84 Ω

전체 임피던스

Z = 50 + 7.247 − j12.84 = 57.25 − j12.84 Ω

|Z| = √(57.25² + 12.84²) = 58.67 Ω

전류

I = V/|Z| = 120/58.67 = 2.045 A

답

I = 2.045 A

9.직류 전동기

답: n = 738.5 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

전기자 전류

I_a = T/k = 3/1.5 = 2 A

역기전력과 속도

E = 120 − 2·2 = 116 V

ω = E/k = 77.33 rad/s → n = 738.5 rpm

답

n = 738.5 rpm

10.직류 전동기

답: D = 39.47 %

필요한 전기자 전압

V_a = 0.3·104.7 + 10·1.2 = 43.42 V

듀티비

D = 43.42/110 = 39.47 %

답

D = 39.47 %

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