3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
상당 임피던스가 12 + j9 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 400 VZ = 12 + j9 Ω 상당
P = kW
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.72(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 75 kWpf1 = 0.72pf2 = 0.9VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
단상 25 kVA, 4800/240 V 변압기가 정격 부하로 운전 중이다. 이상 변압기로 본다. 저압 권선의 전류 ILV을(를) 구하시오.
S = 25 kVAV1 = 4800 VV2 = 240 V
ILV = A
4.변압기어려움
단상 100 kVA 변압기의 철손은 800 W이다. 정격 부하, 역률 0.9(지상)에서 효율은 97.5%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 100 kVAPcore = 800 Wpf = 0.9η = 97.5%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
임피던스 Z = 12 + j5 Ω인 부하가 240 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 피상 전력 S을(를) 구하시오.
V = 240 VZ = 12 + j5 Ω
S = VA
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 230 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 50 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.9(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.
P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.9V = 230 Vf = 50 Hz
QC = kvar
7.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 역률 cos φ을(를) 구하시오.
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 2.2 µF
cos φ =
8.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 1000 Hz 전원에 연결되어 있다. 커패시터 양단 실효 전압 VC을(를) 구하시오.
V = 120 V (rms)f = 1000 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 47 µF
VC = V
9.직류 전동기보통
직류 전동기가 48 V 전원에서 5 A를 끌어 씁니다. 전기자 저항은 0.5 Ω이고 회전 손실(마찰, 풍손, 철손)은 7 W입니다. 효율 η을(를) 구하시오.
V = 48 VIa = 5 ARa = 0.5 ΩProt = 7 W
η = %
10.직류 전동기어려움
DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 0.8 V·s/rad, Ra = 1.5 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 9.6 N·m에서 전동기를 750 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.
Vdc = 240 Vk = 0.8 V·s/radRa = 1.5 ΩT = 9.6 N·mn = 750 rpm
D = %
3용액
1.3상 전력
답: P = 25.6 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = VL = 400 V
상전류
|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
Iph = 400/15 = 26.67 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·26.67²·12 = 25.6 kW
답
P = 25.6 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.8이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
2.3상 전력
답: Cph = 221.6 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0.72) = 75·0.9639 = 72.29 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.9) = 75·0.4843 = 36.32 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 35.96 kvar
상당 정전 용량
Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.
V = 415 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 11988/(314.2·415²) = 221.6 µF
답
Cph = 221.6 µF
3.변압기
답: ILV = 104.2 A
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
정격 전류
두 권선은 같은 피상 전력을 전달합니다.
ILV = S/V = 25000/240 = 104.2 A
답
ILV = 104.2 A
4.변압기
답: Pcu,fl = 1508 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
출력 전력과 입력 전력
Pout = 100·0.9 = 90 kW
Pin = 90000/0.975 = 92308 W
전체 손실과 동손
Ploss = 92308 − 90000 = 2308 W
Pcu,fl = 2308 − 800 = 1508 W
답
Pcu,fl = 1508 W
5.교류 전력과 역률
답: S = 4431 VA
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
전류
|Z| = √(12² + 5²) = 13 Ω
I = V/|Z| = 240/13 = 18.46 A
피상 전력
S = V·I = 240·18.46 = 4431 VA
답
S = 4431 VA
6.교류 전력과 역률
답: QC = 26.79 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(45.57°) = 51.01 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(25.84°) = 24.22 kvar
QC = Q1 − Q2 = 26.79 kvar
답
QC = 26.79 kvar
7.교류 임피던스와 페이저
답: cos φ = 0.321
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 125.7 Ω, XC = 361.7 Ω
임피던스
|Z| = √(80² + (−236.1)²) = 249.2 Ω
역률
cos φ = R/|Z| = 80/249.2 = 0.321
회로가 용량성이므로 역률은 진상입니다.
답
cos φ = 0.321
8.교류 임피던스와 페이저
답: VC = 0.4303 V
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.15 = 942.5 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·47·10⁻⁶) = 3.386 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (939.1)²) = 944.4 Ω
전류
직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.
I = V/|Z| = 120/944.4 = 0.1271 A
커패시터 전압
VC = I·XC = 0.1271·3.386 = 0.4303 V
답
VC = 0.4303 V
9.직류 전동기
답: η = 91.88 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전력
Pin = 48·5 = 240 W
Pdev = 45.5·5 = 227.5 W
Pout = 227.5 − 7 = 220.5 W
효율
η = 220.5/240·100 = 91.88 %
답
η = 91.88 %
10.직류 전동기
답: D = 33.68 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
필요한 전기자 전압
Va = 0.8·78.54 + 12·1.5 = 80.83 V
듀티비
D = 80.83/240 = 33.68 %
답
D = 33.68 %
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