3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 110 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 90%, 역률은 0.82(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.
Pout = 110 kWη = 90%cos φ = 0.82VL = 415 V
IL = A
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 200 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 200 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
출력 저항이 64 Ω인 증폭기가 이상 변압기를 통해 16 Ω 스피커를 구동한다. 최대 전력 전달을 위해 증폭기에서 본 스피커는 64 Ω으로 보여야 한다. 권수비 a = N₁/N₂을(를) 구하시오.
Rs = 64 ΩRL = 16 Ω
a =
4.변압기어려움
단상 200 kVA 변압기의 철손은 800 W이다. 정격 부하, 역률 0.8(지상)에서 효율은 99%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 200 kVAPcore = 800 Wpf = 0.8η = 99%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 240 V 전원에서 지상 역률 0.9로 24 kW를 소비한다. 선전류 I을(를) 구하시오.
P = 24 kWpf = 0.9V = 240 V
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 230 V, 60 Hz 전원에서 지상 역률 0.8로 40 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.9(으)로 높인다. 커패시터가 공급해야 하는 무효 전력 QC을(를) 구하시오.
P = 40 kWpf1 = 0.8pf2 = 0.9V = 230 Vf = 60 Hz
QC = kvar
7.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 전원에서 공급받는 유효 전력 P을(를) 구하시오.
V = 12 V (rms)f = 200 HzR = 15 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF
P = W
8.교류 임피던스와 페이저어려움
저항 R1이(가) R2와(과) 커패시터 C의 병렬 조합과 직렬로 연결되어 100 V(실효값), 100 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 크기 |Z|을(를) 구하시오.
V = 100 V (rms)f = 100 HzR1 = 20 ΩR2 = 100 ΩC = 10 µF
|Z| = Ω
9.직류 전동기보통
직류 전동기(k = 0.6 N·m/A, Ra = 1.2 Ω)가 220 V에서 동작하며 부하 토크 9 N·m를 구동합니다. 속도 n을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 220 Vk = 0.6 N·m/ARa = 1.2 ΩT = 9 N·m
n = rpm
10.직류 전동기어려움
DC 초퍼가 120 V DC 버스에서 전동기(k = 0.6 V·s/rad, Ra = 1 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·120 V입니다. 부하 7.2 N·m에서 전동기를 600 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.
Vdc = 120 Vk = 0.6 V·s/radRa = 1 ΩT = 7.2 N·mn = 600 rpm
D = %
3용액
1.3상 전력
답: IL = 207.4 A
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
전기 입력 전력
Pin = Pout/η = 110/0.9 = 122.2 kW
선전류
IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 122222/(√3·415·0.82) = 207.4 A
답
IL = 207.4 A
2.3상 전력
답: Cph = 697 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 200·tan(acos 0.75) = 200·0.8819 = 176.4 kvar
Q2 = 200·tan(acos 0.98) = 200·0.2031 = 40.61 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 135.8 kvar
상당 정전 용량
Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.
V = 415 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 45257/(377·415²) = 697 µF
답
Cph = 697 µF
3.변압기
답: a = 2
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
환산 부하 정합
a²·16 = 64
a = √(64/16) = √4 = 2
답
a = 2
4.변압기
답: Pcu,fl = 816.2 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
출력 전력과 입력 전력
Pout = 200·0.8 = 160 kW
Pin = 160000/0.99 = 161616 W
전체 손실과 동손
Ploss = 161616 − 160000 = 1616 W
Pcu,fl = 1616 − 800 = 816.2 W
답
Pcu,fl = 816.2 W
5.교류 전력과 역률
답: I = 111.1 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
선전류
일을 하는 것은 유효분뿐이므로 역률로 나눕니다.
I = P/(V·cos φ) = 24000/(240·0.9) = 111.1 A
답
I = 111.1 A
6.교류 전력과 역률
답: QC = 10.63 kvar
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 40·tan(36.87°) = 30 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 40·tan(25.84°) = 19.37 kvar
QC = Q1 − Q2 = 10.63 kvar
답
QC = 10.63 kvar
7.교류 임피던스와 페이저
답: P = 0.1868 W
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XL = 62.83 Ω, XC = 169.3 Ω
임피던스
|Z| = √(15² + (−106.5)²) = 107.5 Ω
유효 전력
인덕터와 커패시터는 에너지를 저장했다가 돌려줄 뿐이며, 저항이 유효 전력을 모두 흡수합니다.
I = 12/107.5 = 0.1116 A
P = I²·R = 0.1116²·15 = 0.1868 W
답
P = 0.1868 W
8.교류 임피던스와 페이저
답: |Z| = 102.2 Ω
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
XC = 1/(2π·100·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
병렬 조합
분자와 분모에 켤레 복소수를 곱해 Zp를 실수부와 허수부로 나누세요.
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 71.7 − j45.05 Ω
전체 임피던스
Z = 20 + 71.7 − j45.05 = 91.7 − j45.05 Ω
|Z| = √(91.7² + 45.05²) = 102.2 Ω
답
|Z| = 102.2 Ω
9.직류 전동기
답: n = 3215 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
전기자 전류
Ia = T/k = 9/0.6 = 15 A
역기전력과 속도
E = 220 − 15·1.2 = 202 V
ω = E/k = 336.7 rad/s → n = 3215 rpm
답
n = 3215 rpm
10.직류 전동기
답: D = 41.42 %
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
필요한 전기자 전압
Va = 0.6·62.83 + 12·1 = 49.7 V
듀티비
D = 49.7/120 = 41.42 %
답
D = 41.42 %
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