3상 전력
- Y 결선
- VL = √3·Vph, IL = Iph
- Δ 결선
- VL = Vph, IL = √3·Iph
- 전체 유효 전력
- P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
- 피상 전력과 무효 전력
- S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
- 역률 개선용 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
- 각 커패시터에 걸리는 전압
- Δ: VL Y: VL/√3
- 전동기 입력
- Pin = Pout/η
전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩
공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.
1공식과 풀이 방법
변압기
- 권수비
- a = N1/N2 = V1/V2
- 전류비
- I1/I2 = N2/N1 = 1/a
- 정격 전류
- I = S/V
- 환산 임피던스
- Z1′ = a²·ZL
- 부분 부하에서의 동손
- Pcu = x²·Pcu,fl
- 효율
- η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
- 최대 효율
- x = √(Pcore/Pcu,fl)
교류 전력과 역률
- 유효 전력
- P = V·I·cos φ
- 무효 전력
- Q = V·I·sin φ
- 피상 전력
- S = V·I = √(P² + Q²)
- 역률
- pf = cos φ = P/S
- 역률 보상 커패시터
- QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)
교류 임피던스와 페이저
- 임피던스
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 각주파수
- ω = 2πf
- 크기와 위상각
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- 페이저 옴의 법칙
- V = I·Z
방법
- 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
- 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
- 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
- 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.
직류 전동기
- 전기자 회로
- V = E + IaRa
- 역기전력과 토크
- E = k·ω, T = k·Ia
- 속력
- ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
- 무부하 속도와 정지 토크
- ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
- 전력
- Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
- 기동
- Istart = V/(Ra + Rst)
- 속도 변동률
- SR = (n0 − nFL)/nFL
- 최대 발생 전력
- Pmax = V²/(4Ra)
- 초퍼 구동
- Va = D·Vdc
방법
- 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
- 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
- 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
- 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.
2연습 문제
1.3상 전력보통
상당 임피던스가 12 + j16 Ω인 평형 Δ 결선 부하가 선간 전압 400 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.
VL = 400 VZ = 12 + j16 Ω 상당
P = kW
2.3상 전력어려움
평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 75 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.98(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.
P = 75 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.98VL = 415 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 1차 권선에 2400 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 12 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.
N1:N2 = 10:1V1 = 2400 VRL = 12 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
단상 150 kVA 변압기의 철손은 600 W이다. 정격 부하, 역률 0.85(지상)에서 효율은 96%이다. 전부하 동손 Pcu,fl을(를) 와트 단위로 구하시오.
S = 150 kVAPcore = 600 Wpf = 0.85η = 96%
Pcu,fl = W
5.교류 전력과 역률보통
단상 전동기가 400 V 전원에서 지상 역률 0.6로 21 kW를 소비한다. 선전류 I을(를) 구하시오.
P = 21 kWpf = 0.6V = 400 V
I = A
6.교류 전력과 역률어려움
단상 부하가 240 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.6로 15 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.95(으)로 높인다. 새 선전류 Inew을(를) 구하시오.
P = 15 kWpf1 = 0.6pf2 = 0.95V = 240 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.교류 임피던스와 페이저보통
직렬 RLC 회로가 120 V (실효값), 200 Hz 전원에 연결되어 있다. 임피던스의 위상각 φ을(를) 도 단위로 구하시오 (전류가 전압보다 뒤질 때 양).
V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF
φ = °
8.교류 임피던스와 페이저어려움
직렬 RLC 회로의 R = 2 Ω, L = 10 mH, C = 2.2 µF이다. 대역폭 B(반전력 주파수 사이 대역의 폭)을(를) Hz로 구하시오.
R = 2 ΩL = 10 mHC = 2.2 µF
B = Hz
9.직류 전동기보통
k = 1.2 V·s/rad인 직류 전동기가 220 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.
V = 220 Vk = 1.2 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
k = 0.75 V·s/rad, Ra = 1.2 Ω인 직류 전동기가 500 rpm에서 11.25 N·m의 부하를 구동해야 합니다. 필요한 전기자 전압 V을(를) 구하시오.
k = 0.75 V·s/radRa = 1.2 ΩT = 11.25 N·mn = 500 rpm
V = V
3용액
1.3상 전력
답: P = 14.4 kW
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.
상전압
Vph = VL = 400 V
상전류
|Z| = √(12² + 16²) = 20 Ω
Iph = 400/20 = 20 A
전체 유효 전력
각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.
P = 3·Iph²·R = 3·20²·12 = 14.4 kW
답
P = 14.4 kW
확인: cos φ = R/|Z| = 0.6이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.
2.3상 전력
답: Cph = 941 µF
평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.
Q1 = 75·tan(acos 0.75) = 75·0.8819 = 66.14 kvar
Q2 = 75·tan(acos 0.98) = 75·0.2031 = 15.23 kvar
커패시터가 공급하는 무효 전력
QC = Q1 − Q2 = 50.91 kvar
상당 정전 용량
Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.
V = 415/√3 = 239.6 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 16971/(314.2·239.6²) = 941 µF
답
Cph = 941 µF
3.변압기
답: I1 = 2 A
이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.
2차 전압과 전류
V2 = 2400/10 = 240 V
I2 = 240/12 = 20 A
1차 전류
이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.
I1 = I2/10 = 2 A
답
I1 = 2 A
확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 1200 Ω이고, 2400/1200도 같은 전류를 줍니다.
4.변압기
답: Pcu,fl = 4713 W
변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.
출력 전력과 입력 전력
Pout = 150·0.85 = 127.5 kW
Pin = 127500/0.96 = 132813 W
전체 손실과 동손
Ploss = 132813 − 127500 = 5313 W
Pcu,fl = 5313 − 600 = 4713 W
답
Pcu,fl = 4713 W
5.교류 전력과 역률
답: I = 87.5 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
선전류
일을 하는 것은 유효분뿐이므로 역률로 나눕니다.
I = P/(V·cos φ) = 21000/(400·0.6) = 87.5 A
답
I = 87.5 A
6.교류 전력과 역률
답: Inew = 65.79 A
교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.
보상 전후의 무효 전력
유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.
Q1 = P·tan φ1 = 15·tan(53.13°) = 20 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 15·tan(18.19°) = 4.93 kvar
QC = Q1 − Q2 = 15.07 kvar
새 선전류
Inew = P/(V·cos φ2) = 15000/(240·0.95) = 65.79 A
답
Inew = 65.79 A
7.교류 임피던스와 페이저
답: φ = −15.59 °
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
리액턴스
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.05 = 62.83 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω
임피던스
직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (−16.75)²) = 62.29 Ω
위상각
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−16.75/60) = −15.59°
답
φ = −15.59°
8.교류 임피던스와 페이저
답: B = 31.83 Hz
페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.
공진 주파수
f0 = 1/(2π·√(0.01·2.2·10⁻⁶)) = 1073 Hz
선택도
Q는 공진에서의 리액턴스를 저항과 비교합니다: Q = ω₀L/R.
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/2)·√(0.01/(2.2·10⁻⁶)) = 33.71
대역폭
B = f0/Q = 1073/33.71 = 31.83 Hz
답
B = 31.83 Hz
9.직류 전동기
답: n0 = 1751 rpm
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
무부하 속도
ω₀ = V/k = 220/1.2 = 183.3 rad/s
n0 = 60·183.3/(2π) = 1751 rpm
답
n0 = 1751 rpm
10.직류 전동기
답: V = 57.27 V
직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.
역기전력
E = 0.75·52.36 = 39.27 V
전기자 전류
Ia = 11.25/0.75 = 15 A
전기자 전압
V = 39.27 + 15·1.2 = 57.27 V
답
V = 57.27 V
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