전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

새 문제강의로 돌아가기

인쇄 창에서 “PDF로 저장”을 선택하면 기기에 사본을 보관할 수 있습니다.

1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VNZ = 16 + j12 Ω상당

상당 임피던스가 16 + j12 Ω인 평형 Y 결선 부하가 선간 전압 415 V의 평형 3상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 전체 유효 전력 P을(를) kW 단위로 구하시오.

VL = 415 VZ = 16 + j12 Ω 상당
P = kW
2.3상 전력어려움
P = 80 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 480 V(선간), 60 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 80 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Δ 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 80 kWpf1 = 0.75pf2 = 0.95VL = 480 Vf = 60 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
RL​ = 48 Ω1012300 VV2​I1​ = ?I2​

권수비 N₁:N₂ = 10:1인 이상 변압기의 1차 권선에 2300 V가 가해진다. 2차 권선 양단에 48 Ω 저항이 연결되어 있다. 1차 전류 I1을(를) 구하시오.

N1:N2 = 10:1V1 = 2300 VRL = 48 Ω
I1 = A
4.변압기어려움
150 kVA

단상 150 kVA 변압기의 철손은 600 W이고 정격 부하에서의 동손은 1200 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 Sη,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 150 kVAPcore = 600 WPcu,fl = 1200 W
Sη,max = kVA
5.교류 전력과 역률보통
230 VR + jXP = 759 W5.5 A

유도성 부하가 230 V(실효값) 단상 전원에서 5.5 A와 759 W를 소비한다. 이 부하를 저항 R과 리액턴스 X의 직렬로 모델링한다. X을(를) 구하시오.

V = 230 VI = 5.5 AP = 759 W
X = Ω
6.교류 전력과 역률어려움
P = 50 kWQ1​S1​φ1​QC​

단상 부하가 230 V, 50 Hz 전원에서 지상 역률 0.7로 50 kW를 소비한다. 병렬로 연결한 커패시터가 역률을 0.98(으)로 높인다. 새 선전류 Inew을(를) 구하시오.

P = 50 kWpf1 = 0.7pf2 = 0.98V = 230 Vf = 50 Hz
Inew = A
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 60 HzRL = 100 mHC = ?

L = 100 mH인 직렬 RLC 회로가 60 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 60 HzL = 100 mH
C = µF
8.교류 임피던스와 페이저어려움
100 V500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µFI

직렬 RLC 회로가 100 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 100 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 100 µF
I = A
9.직류 전동기보통
+−240 VRa​ = 2 ΩIa​ = 10 AM+−EωT

직류 전동기가 240 V 전원에서 10 A를 끌어 씁니다. 전기자 저항은 2 Ω이고 회전 손실(마찰, 풍손, 철손)은 176 W입니다. 효율 η을(를) 구하시오.

V = 240 VIa = 10 ARa = 2 ΩProt = 176 W
η = %
10.직류 전동기어려움
+−240 VD = ?Ra​ = 0.4 ΩM+−En = 500 rpmT = 32 N·m

DC 초퍼가 240 V DC 버스에서 전동기(k = 0.8 V·s/rad, Ra = 0.4 Ω)에 전력을 공급합니다. 평균 전기자 전압은 D·240 V입니다. 부하 32 N·m에서 전동기를 500 rpm으로 운전하는 듀티비 D을(를) 구하시오.

Vdc = 240 Vk = 0.8 V·s/radRa = 0.4 ΩT = 32 N·mn = 500 rpm
D = %

3용액

1.3상 전력

답: P = 6.889 kW

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

상전압

Vph = 415/√3 = 239.6 V

상전류

|Z| = √(16² + 12²) = 20 Ω
Iph = 239.6/20 = 11.98 A

전체 유효 전력

각 임피던스의 저항 성분만 유효 전력을 흡수합니다.

P = 3·Iph²·R = 3·11.98²·16 = 6.889 kW

답

P = 6.889 kW

확인: cos φ = R/|Z| = 0.8이고, √3·VL·IL·cos φ도 같은 전력을 줍니다.

2.3상 전력

답: Cph = 169.8 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 80·tan(acos 0.75) = 80·0.8819 = 70.55 kvar
Q2 = 80·tan(acos 0.95) = 80·0.3287 = 26.29 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 44.26 kvar

상당 정전 용량

Δ 뱅크에서 각 커패시터는 두 선 사이에 연결됩니다.

V = 480 V, ω = 2π·60 = 377 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 14753/(377·480²) = 169.8 µF

답

Cph = 169.8 µF
3.변압기

답: I1 = 0.4792 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

2차 전압과 전류

V2 = 2300/10 = 230 V
I2 = 230/48 = 4.792 A

1차 전류

이상 변압기에는 손실이 없습니다: V₁·I₁ = V₂·I₂.

I1 = I2/10 = 0.4792 A

답

I1 = 0.4792 A

확인: 1차 측에서 본 부하는 a²·RL = 4800 Ω이고, 2300/4800도 같은 전류를 줍니다.

4.변압기

답: Sη,max = 106.1 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·1200 = 600 → x = √(600/1200) = 0.7071

최대 효율에서의 부하

Sη,max = x·S = 0.7071·150 = 106.1 kVA

답

Sη,max = 106.1 kVA
5.교류 전력과 역률

답: X = 33.45 Ω

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

유효 전력에서 구한 저항

R = P/I² = 759/5.5² = 25.09 Ω

임피던스에서 구한 리액턴스

|Z| = V/I = 230/5.5 = 41.82 Ω
X = √(|Z|² − R²) = √(41.82² − 25.09²) = 33.45 Ω

답

X = 33.45 Ω
6.교류 전력과 역률

답: Inew = 221.8 A

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력 P는 변하지 않고, 전원에서 끌어오는 무효 전력만 변합니다.

Q1 = P·tan φ1 = 50·tan(45.57°) = 51.01 kvar
Q2 = P·tan φ2 = 50·tan(11.48°) = 10.15 kvar
QC = Q1 − Q2 = 40.86 kvar

새 선전류

Inew = P/(V·cos φ2) = 50000/(230·0.98) = 221.8 A

답

Inew = 221.8 A
7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 70.36 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·60 = 377 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(377²·0.1) = 70.36 µF

답

C = 70.36 µF
8.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.6484 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s
XL = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(3142·100·10⁻⁶) = 3.183 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(XL − XC).

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (153.9)²) = 154.2 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 100/154.2 = 0.6484 A

답

I = 0.6484 A
9.직류 전동기

답: η = 84.33 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

전력

Pin = 240·10 = 2400 W
Pdev = 220·10 = 2200 W
Pout = 2200 − 176 = 2024 W

효율

η = 2024/2400·100 = 84.33 %

답

η = 84.33 %
10.직류 전동기

답: D = 24.12 %

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

필요한 전기자 전압

Va = 0.8·52.36 + 40·0.4 = 57.89 V

듀티비

D = 57.89/240 = 24.12 %

답

D = 24.12 %

ExamProblems · examproblems.com/courses/power-systems