전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선
VL = √3·Vph, IL = Iph
Δ 결선
VL = Vph, IL = √3·Iph
전체 유효 전력
P = √3·VL·IL·cos φ = 3·Iph²·R
피상 전력과 무효 전력
S = √3·VL·IL, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압
Δ: VL Y: VL/√3
전동기 입력
Pin = Pout/η

변압기

권수비
a = N1/N2 = V1/V2
전류비
I1/I2 = N2/N1 = 1/a
정격 전류
I = S/V
환산 임피던스
Z1′ = a²·ZL
부분 부하에서의 동손
Pcu = x²·Pcu,fl
효율
η = x·S·pf/(x·S·pf + Pcore + x²·Pcu,fl)
최대 효율
x = √(Pcore/Pcu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력
P = V·I·cos φ
무효 전력
Q = V·I·sin φ
피상 전력
S = V·I = √(P² + Q²)
역률
pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터
QC = P(tan φ1 − tan φ2), C = QC/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
각주파수
ω = 2πf
크기와 위상각
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙
V = I·Z

방법

  1. 주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
  2. 각 리액턴스를 구하세요: XL = ωL, XC = 1/(ωC).
  3. 임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
  4. 크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로
V = E + IaRa
역기전력과 토크
E = k·ω, T = k·Ia
속력
ω = 2π·n/60, ω = (V − IaRa)/k
무부하 속도와 정지 토크
ω0 = V/k, Tstall = k·V/Ra
전력
Pin = V·Ia, Pdev = E·Ia = T·ω, Pout = Pdev − Prot
기동
Istart = V/(Ra + Rst)
속도 변동률
SR = (n0 − nFL)/nFL
최대 발생 전력
Pmax = V²/(4Ra)
초퍼 구동
Va = D·Vdc

방법

  1. 전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 Ra, 역기전력 E가 직렬입니다.
  2. 전압, 전류, 역기전력을 V = E + Ia·Ra로 연결하세요.
  3. 속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·Ia를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
  4. 전력과 효율은 V·Ia에서 출발해 동손 Ia²·Ra를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통
ABCVL​ = 415 VIL​ = ?M37 kW, η = 93%cos φ = 0.88

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 37 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 93%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 415 V이다. 선전류 IL을(를) 구하시오.

Pout = 37 kWη = 93%cos φ = 0.88VL = 415 V
IL = A
2.3상 전력어려움
P = 300 kWφ1​S1​Q2​QC​

평형 3상 부하가 690 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.78(지상)로 300 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.9(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터는 Y 결선이다. 각 커패시터의 정전 용량 Cph을(를) µF 단위로 구하시오.

P = 300 kWpf1 = 0.78pf2 = 0.9VL = 690 Vf = 50 Hz
Cph = µF
3.변압기보통
50 ΩN1​N2​1800 Ω

출력 저항이 1800 Ω인 증폭기가 이상 변압기를 통해 50 Ω 스피커를 구동한다. 최대 전력 전달을 위해 증폭기에서 본 스피커는 1800 Ω으로 보여야 한다. 권수비 a = N₁/N₂을(를) 구하시오.

Rs = 1800 ΩRL = 50 Ω
a =
4.변압기어려움
pf 0.95150 kVA, 25% 부하

단상 150 kVA 변압기의 철손은 1200 W이고 정격 부하에서의 동손은 1800 W이다. 이 변압기가 정격 kVA의 25%를 역률 0.95(지상)로 공급한다. 이 부하에서의 전체 손실 Ploss을(를) 와트 단위로 구하시오.

S = 150 kVAPcore = 1200 WPcu,fl = 1800 Wx = 0.25pf = 0.95
Ploss = W
5.교류 전력과 역률보통
120 VZ12 + j9 ΩI

임피던스 Z = 12 + j9 Ω인 부하가 120 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 부하가 흡수하는 유효 전력 P을(를) 구하시오.

V = 120 VZ = 12 + j9 Ω
P = W
6.교류 전력과 역률어려움
120 V60 HzRs​ = 4 ΩXs​ = j3 ΩZL​ = ?

120 V(실효값), 60 Hz 전원의 내부 임피던스는 Zs = 4 + j3 Ω이다. 부하 임피던스 ZL은(는) 자유롭게 선택할 수 있다. 부하에 전달할 수 있는 최대 유효 전력 Pmax을(를) 구하시오.

Vs = 120 V (rms)f = 60 HzZs = 4 + j3 Ω
Pmax = W
7.교류 임피던스와 페이저보통
Vf0​ = 50 HzRL = 100 mHC = ?

L = 100 mH인 직렬 RLC 회로가 50 Hz에서 공진해야 한다. 필요한 커패시턴스 C을(를) 구하시오.

f0 = 50 HzL = 100 mH
C = µF
8.교류 임피던스와 페이저어려움
10 V60 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF

직렬 RLC 회로가 10 V (실효값), 60 Hz 전원에 연결되어 있다. 회로의 공진 주파수 f0을(를) 구하시오.

V = 10 V (rms)f = 60 HzR = 50 ΩL = 250 mHC = 22 µF
f0 = Hz
9.직류 전동기보통
T (N·m)n (rpm)n0​ = ?

k = 0.2 V·s/rad인 직류 전동기가 24 V에서 동작합니다. 무부하에서 모든 손실을 무시할 때 무부하 속도 n0을(를) rpm 단위로 구하시오.

V = 24 Vk = 0.2 V·s/rad
n0 = rpm
10.직류 전동기어려움
+−240 VRst​ = ?Ra​ = 1.2 Ω10 AM+−E = 0n = 0T

240 V 직류 전동기의 전기자 저항이 1.2 Ω입니다. 기동 전류를 10 A로 제한하는 직렬 기동 저항 Rst을(를) 구하시오.

V = 240 VRa = 1.2 ΩImax = 10 A
Rst = Ω

3용액

1.3상 전력

답: IL = 62.9 A

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ.

전기 입력 전력

Pin = Pout/η = 37/0.93 = 39.78 kW

선전류

IL = Pin/(√3·VL·cos φ) = 39785/(√3·415·0.88) = 62.9 A

답

IL = 62.9 A
2.3상 전력

답: Cph = 637.7 µF

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, VL = √3·Vph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, IL = √3·Iph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·Vph·Iph·cos φ = √3·VL·IL·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, QC = P·(tan φ1 − tan φ2). 세 커패시터는 각각 QC/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 VL, Y 뱅크에서는 VL/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q1 = 300·tan(acos 0.78) = 300·0.8023 = 240.7 kvar
Q2 = 300·tan(acos 0.9) = 300·0.4843 = 145.3 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

QC = Q1 − Q2 = 95.39 kvar

상당 정전 용량

Y 뱅크에서 각 커패시터는 선과 중성점 사이에 연결됩니다.

V = 690/√3 = 398.4 V, ω = 2π·50 = 314.2 rad/s
Cph = (QC/3)/(ω·V²) = 31796/(314.2·398.4²) = 637.7 µF

답

Cph = 637.7 µF
3.변압기

답: a = 6

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

환산 부하 정합

a²·50 = 1800
a = √(1800/50) = √36 = 6

답

a = 6
4.변압기

답: Ploss = 1313 W

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·Pcu,fl입니다. 효율 η = Pout/(Pout + Pcore + Pcu)이고, Pout = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

이 부하에서의 동손

Pcu = x²·Pcu,fl = 0.0625·1800 = 112.5 W

전체 손실

철손은 어떤 부하에서도 같습니다.

Ploss = 1200 + 112.5 = 1313 W

답

Ploss = 1313 W

이 부하에서의 효율은 η = 96.45%입니다.

5.교류 전력과 역률

답: P = 768 W

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(12² + 9²) = 15 Ω
I = V/|Z| = 120/15 = 8 A

유효 전력

P = I²·R = 8²·12 = 768 W

답

P = 768 W
6.교류 전력과 역률

답: Pmax = 900 W

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

켤레 정합

부하 리액턴스는 전원 리액턴스를 상쇄하고, 부하 저항은 전원 저항과 같습니다.

ZL = Zs* = 4 − j3 Ω

최대 전력

I = Vs/(2Rs) = 120/8 = 15 A
Pmax = I²·RL = Vs²/(4Rs) = 120²/(4·4) = 900 W

답

Pmax = 900 W
7.교류 임피던스와 페이저

답: C = 101.3 µF

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진 조건

공진에서는 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC).

ω₀ = 2π·50 = 314.2 rad/s
C = 1/(ω₀²·L) = 1/(314.2²·0.1) = 101.3 µF

답

C = 101.3 µF
8.교류 임피던스와 페이저

답: f0 = 67.86 Hz

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

공진

공진 시 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스가 상쇄됩니다: ωL = 1/(ωC). 전원 주파수와는 관계없습니다.

f0 = 1/(2π√(LC)) = 1/(2π·√(0.25·22·10⁻⁶)) = 67.86 Hz

답

f0 = 67.86 Hz
9.직류 전동기

답: n0 = 1146 rpm

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

무부하 속도

ω₀ = V/k = 24/0.2 = 120 rad/s
n0 = 60·120/(2π) = 1146 rpm

답

n0 = 1146 rpm
10.직류 전동기

답: Rst = 22.8 Ω

직류 전동기: 전기자는 저항 Ra와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + Ia·Ra입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·Ia입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·Ia = T·ω이고, 입력 전력은 V·Ia이며, 그 차이는 동손 Ia²Ra와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − Ra·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/Ra일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/Ra가 큽니다.

전체 저항

Ra + Rst = 240/10 = 24 Ω

기동 저항기

Rst = 24 − 1.2 = 22.8 Ω

답

Rst = 22.8 Ω

전동기 속도가 올라가 역기전력이 커짐에 따라 저항기는 단계적으로 제거됩니다.

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