전력공학 및 전기기기: 벼락치기 팩

공식 모음, 모든 주제의 핵심 풀이 단계, 연습 문제 10개가 들어 있으며 전체 풀이는 맨 뒤에 있습니다.

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1공식과 풀이 방법

3상 전력

Y 결선: V_L = √3·V_ph, I_L = I_ph
Δ 결선: V_L = V_ph, I_L = √3·I_ph
전체 유효 전력: P = √3·V_L·I_L·cos φ = 3·I_ph²·R
피상 전력과 무효 전력: S = √3·V_L·I_L, Q = P·tan φ
역률 개선용 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(3ωV²)
각 커패시터에 걸리는 전압: Δ: V_L Y: V_L/√3
전동기 입력: P_in = P_out/η

변압기

권수비: a = N₁/N₂ = V₁/V₂
전류비: I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a
정격 전류: I = S/V
환산 임피던스: Z₁′ = a²·Z_L
부분 부하에서의 동손: P_cu = x²·P_cu,fl
효율: η = x·S·pf/(x·S·pf + P_core + x²·P_cu,fl)
최대 효율: x = √(P_core/P_cu,fl)

교류 전력과 역률

유효 전력: P = V·I·cos φ
무효 전력: Q = V·I·sin φ
피상 전력: S = V·I = √(P² + Q²)
역률: pf = cos φ = P/S
역률 보상 커패시터: Q_C = P(tan φ₁ − tan φ₂), C = Q_C/(ωV²)

교류 임피던스와 페이저

임피던스: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
각주파수: ω = 2πf
크기와 위상각: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
페이저 옴의 법칙: V = I·Z

방법

주파수를 바꾸세요: ω = 2πf.
각 리액턴스를 구하세요: X_L = ωL, X_C = 1/(ωC).
임피던스는 Z = R + jX로 놓고 저항처럼 합성하세요.
크기 |Z| = √(R² + X²)와 각 φ = atan(X/R)을 구한 다음 페이저로 옴의 법칙을 쓰세요.

직류 전동기

전기자 회로: V = E + I_aR_a
역기전력과 토크: E = k·ω, T = k·I_a
속력: ω = 2π·n/60, ω = (V − I_aR_a)/k
무부하 속도와 정지 토크: ω₀ = V/k, T_stall = k·V/R_a
전력: P_in = V·I_a, P_dev = E·I_a = T·ω, P_out = P_dev − P_rot
기동: I_start = V/(R_a + R_st)
속도 변동률: SR = (n₀ − n_FL)/n_FL
최대 발생 전력: P_max = V²/(4R_a)
초퍼 구동: V_a = D·V_dc

방법

전기자 회로를 그리세요. 전원 V, 저항 R_a, 역기전력 E가 직렬입니다.
전압, 전류, 역기전력을 V = E + I_a·R_a로 연결하세요.
속도에는 E = k·ω를, 토크에는 T = k·I_a를 쓰세요. ω = 2π·n/60입니다.
전력과 효율은 V·I_a에서 출발해 동손 I_a²·R_a를 빼고, 그다음 회전 손실을 빼세요.

2연습 문제

1.3상 전력보통

3상 유도 전동기가 전부하에서 기계적 출력 90 kW를 낸다. 이 부하에서 효율은 88%, 역률은 0.88(지상)이다. 전원의 선간 전압은 480 V이다. 선전류 I_L을(를) 구하시오.

P_out = 90 kWη = 88%cos φ = 0.88V_L = 480 V

I_L = A

2.3상 전력어려움

평형 3상 부하가 415 V(선간), 50 Hz 전원에서 역률 0.75(지상)로 100 kW를 소비한다. 부하에 병렬로 연결한 3상 커패시터 뱅크로 전체 역률을 0.95(지상)까지 높여야 한다. 유효 전력은 변하지 않는다. 커패시터 뱅크가 공급해야 하는 전체 무효 전력 Q_C을(를) kvar 단위로 구하시오.

P = 100 kWpf₁ = 0.75pf₂ = 0.95V_L = 415 Vf = 50 Hz

Q_C = kvar

3.변압기보통

단상 75 kVA, 7200/240 V 변압기가 정격 부하로 운전 중이다. 이상 변압기로 본다. 저압 권선의 전류 I_LV을(를) 구하시오.

S = 75 kVAV₁ = 7200 VV₂ = 240 V

I_LV = A

4.변압기어려움

단상 50 kVA 변압기의 철손은 250 W이고 정격 부하에서의 동손은 1000 W이다. 효율이 최대가 되는 부하 S_η,max은(는) 몇 kVA인가?

S = 50 kVAP_core = 250 WP_cu,fl = 1000 W

S_η,max = kVA

5.교류 전력과 역률보통

임피던스 Z = 20 + j15 Ω인 부하가 230 V(실효값) 단상 전원에 연결되어 있다. 피상 전력 S을(를) 구하시오.

V = 230 VZ = 20 + j15 Ω

S = VA

6.교류 전력과 역률어려움

150 kVA 단상 변압기가 지상 역률 0.75의 61 kW 부하에 전력을 공급한다. 변압기가 kVA 정격에 도달하기 전까지 저항성(역률 1) 부하로 추가할 수 있는 유효 전력 ΔP은(는) 얼마인가?

S_max = 150 kVAP₁ = 61 kWpf₁ = 0.75

ΔP = kW

7.교류 임피던스와 페이저보통

직렬 RLC 회로가 12 V (실효값), 500 Hz 전원에 연결되어 있다. 실효 전류 I을(를) 구하시오.

V = 12 V (rms)f = 500 HzR = 10 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

8.교류 임피던스와 페이저어려움

직렬 RLC 회로를 24 V(실효값) 전원으로 구동하며, 전원 주파수는 회로의 공진 주파수로 맞추어져 있다. 인덕터 양단의 실효 전압 V_L을(를) 구하시오.

V = 24 V (rms)R = 5 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF

V_L = V

9.직류 전동기보통

직류 전동기가 3000 rpm에서 7.5 kW의 기계적 출력을 냅니다. 축 토크 T을(를) 구하시오.

P = 7.5 kWn = 3000 rpm

T = N·m

10.직류 전동기어려움

k = 1 V·s/rad, R_a = 1.5 Ω인 직류 전동기가 750 rpm에서 8 N·m의 부하를 구동해야 합니다. 필요한 전기자 전압 V을(를) 구하시오.

k = 1 V·s/radR_a = 1.5 ΩT = 8 N·mn = 750 rpm

V = V

3용액

1.3상 전력

답: I_L = 139.8 A

전기 입력 전력

P_in = P_out/η = 90/0.88 = 102.3 kW

선전류

I_L = P_in/(√3·V_L·cos φ) = 102273/(√3·480·0.88) = 139.8 A

답

I_L = 139.8 A

2.3상 전력

답: Q_C = 55.32 kvar

평형 3상 계통: Y(성형) 결선에서는 선간 전압이 상전압의 √3배, V_L = √3·V_ph이고, 선전류는 상전류와 같습니다. Δ(삼각) 결선에서는 선간 전압이 상전압과 같고 선전류는 상전류의 √3배, I_L = √3·I_ph입니다. 전체 전력은 한 상 전력의 세 배입니다: P = 3·V_ph·I_ph·cos φ = √3·V_L·I_L·cos φ. 역률 개선: 커패시터는 무효 전력을 부하 가까이에서 공급합니다, Q_C = P·(tan φ₁ − tan φ₂). 세 커패시터는 각각 Q_C/3 = V²·ω·C를 공급하며, 여기서 V는 그 커패시터에 걸리는 전압으로 Δ 뱅크에서는 V_L, Y 뱅크에서는 V_L/√3입니다.

보상 전후의 무효 전력

유효 전력은 변하지 않으므로 각 역률이 무효 전력을 결정합니다: Q = P·tan φ.

Q₁ = 100·tan(acos 0.75) = 100·0.8819 = 88.19 kvar

Q₂ = 100·tan(acos 0.95) = 100·0.3287 = 32.87 kvar

커패시터가 공급하는 무효 전력

Q_C = Q₁ − Q₂ = 55.32 kvar

답

Q_C = 55.32 kvar

3.변압기

답: I_LV = 312.5 A

이상 변압기: 전압은 권수의 비를, 전류는 그 역비를 따릅니다: V₁/V₂ = N₁/N₂ = a, I₁/I₂ = N₂/N₁ = 1/a이므로 입력 전력과 출력 전력이 같습니다, V₁·I₁ = V₂·I₂. 2차 측의 부하 임피던스 Z는 1차 측에서 보면 a²·Z로 보입니다.

정격 전류

두 권선은 같은 피상 전력을 전달합니다.

I_LV = S/V = 75000/240 = 312.5 A

답

I_LV = 312.5 A

4.변압기

답: S_η,max = 25 kVA

변압기 손실: 철손(히스테리시스손과 와전류손)은 전압에 따라 정해지며 부하와 관계없이 일정합니다. 권선의 동손은 전류의 제곱에 비례하므로 정격 부하의 x배 부하에서는 x²·P_cu,fl입니다. 효율 η = P_out/(P_out + P_core + P_cu)이고, P_out = x·S·pf입니다. 효율은 동손이 철손과 같아지는 부하에서 최대가 됩니다.

동손 = 철손

x²·1000 = 250 → x = √(250/1000) = 0.5

최대 효율에서의 부하

S_η,max = x·S = 0.5·50 = 25 kVA

답

S_η,max = 25 kVA

5.교류 전력과 역률

답: S = 2116 VA

교류 전력: 피상 전력 S = V·I (VA)는 유용한 일을 하는 유효 전력 P = S·cos φ (W)와, 전원과 부하 사이를 오가는 무효 전력 Q = S·sin φ (var)로 나뉩니다. 역률은 cos φ입니다. 병렬 커패시터가 무효 전력을 현장에서 공급하므로 같은 유효 전력에서 선전류가 줄어듭니다.

전류

|Z| = √(20² + 15²) = 25 Ω

I = V/|Z| = 230/25 = 9.2 A

피상 전력

S = V·I = 230·9.2 = 2116 VA

답

S = 2116 VA

6.교류 전력과 역률

답: ΔP = 79.02 kW

기존 부하의 무효 전력

Q₁ = 61·tan(arccos 0.75) = 53.8 kvar

최대 전체 유효 전력

정격 전부에서 S = S_max이며, 저항성 부하는 Q를 바꾸지 않습니다.

P = √(S_max² − Q₁²) = √(150² − 53.8²) = 140 kW

추가 유효 전력

ΔP = 140 − 61 = 79.02 kW

답

ΔP = 79.02 kW

7.교류 임피던스와 페이저

답: I = 0.09551 A

페이저를 이용한 교류 회로: 저항, 인덕터, 커패시터의 임피던스는 R, jωL, 1/(jωC)이며 ω = 2πf입니다. 직렬에서는 임피던스를 저항처럼 더하되 복소수로 계산합니다. 실효 전류와 전압은 |Z|를 쓴 옴의 법칙을 따릅니다.

리액턴스

ω = 2πf = 2π·500 = 3142 rad/s

X_L = ωL = 3142·0.05 = 157.1 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(3142·10·10⁻⁶) = 31.83 Ω

임피던스

직렬에서는 임피던스를 복소수로 더합니다: Z = R + j(X_L − X_C).

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (125.2)²) = 125.6 Ω

전류

직렬 회로의 모든 소자에는 같은 전류가 흐릅니다.

I = V/|Z| = 12/125.6 = 0.09551 A

답

I = 0.09551 A

8.교류 임피던스와 페이저

답: V_L = 457.7 V

공진

공진에서는 리액턴스가 상쇄되므로 임피던스는 R뿐입니다.

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.02·2.2·10⁻⁶) = 4767 rad/s

I = V/R = 24/5 = 4.8 A

인덕터 양단의 전압

X_L = ω₀L = 4767·0.02 = 95.35 Ω

V_L = I·X_L = 4.8·95.35 = 457.7 V

답

V_L = 457.7 V

이는 전원 전압의 Q = 19.07배입니다.

9.직류 전동기

답: T = 23.87 N·m

직류 전동기: 전기자는 저항 R_a와 역기전력 E가 직렬로 연결된 것이므로 V = E + I_a·R_a입니다. 역기전력은 속도에 비례하여 E = k·ω로 커지고, 토크는 전류에 비례하여 T = k·I_a입니다. SI 단위에서는 같은 전동기 상수 k(V·s/rad = N·m/A)를 씁니다. 속도는 ω = 2π·n/60으로 환산합니다. 발생 전력은 E·I_a = T·ω이고, 입력 전력은 V·I_a이며, 그 차이는 동손 I_a²R_a와 회전 손실이 만듭니다. 속도는 토크에 대해 직선으로 감소하며, ω = V/k − R_a·T/k²로 무부하 속도 V/k에서 정지 토크 k·V/R_a일 때 0이 됩니다. 정지 상태에서는 E = 0이므로 저항으로 제한하지 않으면 기동 전류 V/R_a가 큽니다.

rad/s 단위의 속도

ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s

토크

T = P/ω = 7500/314.2 = 23.87 N·m

답

T = 23.87 N·m

10.직류 전동기

답: V = 90.54 V

역기전력

E = 1·78.54 = 78.54 V

전기자 전류

I_a = 8/1 = 8 A

전기자 전압

V = 78.54 + 8·1.5 = 90.54 V

답

V = 90.54 V

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